§ 4. Прямой угол. Квадрат. Прямоугольник

Определения и обозначения

Прямой угол — угол, равный 90°. Его можно узнать с помощью угольника: если стороны угла совпадают со сторонами прямого угла угольника, угол прямой. Такой угол также совпадает с углом обычного листа бумаги, поэтому это удобный образец для проверки.

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого четыре стороны и четыре прямых угла. Его вершины обозначают заглавными буквами по порядку, например ABCD, а стороны называют по соседним вершинам: AB, BC, CD и DA. У прямоугольника противоположные стороны равны.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Значит, квадрат имеет и четыре равные стороны, и четыре прямых угла. Такое определение помогает отличить квадрат от прямоугольника, у которого длины и ширины могут быть разными.

Как это устроено

Прямой угол не всегда удаётся надёжно определить на глаз: фигура может быть нарисована немного наклонно или изображение может иметь необычный размер. Поэтому вершину угольника совмещают с вершиной проверяемого угла, а одну его сторону — со стороной угла. Если вторая сторона тоже совпала, стороны образуют именно 90°, а не приблизительное значение.

У прямоугольника четыре прямых угла, потому что это свойство заложено в его определении. Если хотя бы один угол не прямой, фигуру нельзя назвать прямоугольником, даже если у неё четыре стороны. Так прямой угол помогает отличить прямоугольник от других четырёхугольников, например от произвольного наклонного четырёхугольника.

Квадрат выделяют среди прямоугольников не по внешнему виду, а по равенству сторон. Сначала убеждаются, что у фигуры четыре прямых угла, а затем сравнивают длины всех четырёх сторон. Если они одинаковы, прямоугольник является квадратом; если две длинные стороны отличаются от двух коротких, это не квадрат.

Обозначение буквами нужно, чтобы точно называть элементы фигуры. Вершины ABCD записывают в том порядке, в каком обходят фигуру по краю, поэтому стороны будут AB, BC, CD и DA, а не случайные пары букв. Прямые углы на чертеже обычно отмечают маленьким квадратиком у вершины, а равные стороны — одинаковыми короткими штрихами.

Для проверки сторон используют линейку: прикладывают её к каждой стороне и определяют длину в сантиметрах или миллиметрах. Затем сравнивают полученные числа, учитывая погрешность измерения и точность рисунка. Одинаковые результаты у всех сторон подтверждают, что прямоугольник является квадратом.

Сравнение прямоугольника и квадрата

Сначала по таблице сравнивают общие признаки: количество сторон и вид углов. Затем смотрят на длины сторон — именно этот признак позволяет отделить квадрат от прямоугольника.

Если у фигуры четыре прямых угла, но все стороны не равны, это прямоугольник. Если к тем же четырём прямым углам добавляется равенство всех сторон, перед нами квадрат.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Среди изображённых углов найди прямой угол и объясни, как ты его проверил.

1. Выбери угол, который нужно проверить, и приложи к нему угольник.
2. Совмести вершину угольника с вершиной угла, а одну сторону угольника — с одной стороной угла.
3. Проверь вторую сторону: если она совпала со второй стороной угольника, угол равен 90°.

Ответ. Прямым является тот угол, обе стороны которого совпали со сторонами прямого угла угольника.

Задача 2

Условие. У четырёхугольника ABCD все углы прямые. Как называется эта фигура? Назови её стороны.

1. У фигуры четыре стороны, потому что это четырёхугольник.
2. Все четыре угла прямые, а это главный признак прямоугольника.
3. Вершины уже записаны по порядку: A, B, C, D, поэтому стороны составляют из соседних букв.

Ответ. Фигура ABCD — прямоугольник. Его стороны: AB, BC, CD и DA.

Задача 3

Условие. Прямоугольник имеет стороны 5 см, 3 см, 5 см и 3 см. Является ли он квадратом?

1. У прямоугольника уже есть четыре прямых угла.
2. Для квадрата нужно дополнительно, чтобы все четыре стороны были равны.
3. Сравним длины: две стороны равны 5 см, а две другие — 3 см. Значит, все стороны одинаковыми не являются.

Ответ. Этот прямоугольник не является квадратом: его противоположные стороны равны, но длина и ширина различаются.

Типичные ошибки

Называют квадратом любой прямоугольник. Ошибка появляется, если проверяют только углы и забывают о сторонах. Нужно измерить все стороны и убедиться, что их длины одинаковы.

Считают, что у прямоугольника равны все стороны. На самом деле у обычного прямоугольника равны противоположные стороны, а все четыре равны только у квадрата. Проверь отдельно длину и ширину фигуры.

Определяют прямой угол на глаз. Наклон рисунка легко вводит в заблуждение, поэтому зрительной оценки недостаточно. Приложи угольник или сравни угол с углом листа.

Непоследовательно называют вершины и стороны. Если буквы расставить в случайном порядке, названия сторон могут стать неверными. Обходи фигуру по краю, например A, B, C, D, и называй стороны по соседним вершинам.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь различать точку, отрезок, угол и четырёхугольник. Также пригодится умение измерять отрезки линейкой, потому что длины сторон помогают распознать квадрат.

Прямые углы, прямоугольники и квадраты нужны при изучении периметра и площади. Чтобы найти периметр, измеряют и складывают длины сторон, а при работе с площадью особенно часто встречаются прямоугольные фигуры.

Умение находить прямые углы и равные стороны помогает описывать геометрические фигуры и выполнять точные чертежи. Эти навыки пригодятся и в задачах, где фигура состоит из нескольких частей.

Что запомнить

• Прямой угол можно проверить угольником.
• Прямой угол равен 90°.
• У прямоугольника четыре прямых угла.
• У прямоугольника противоположные стороны равны.
• У квадрата четыре прямых угла и все стороны равны.
• Каждый квадрат является прямоугольником, но не каждый прямоугольник является квадратом.