§ 5. Виды углов. Смежные и вертикальные углы

Определения и обозначения

Угол образуют два луча с общей начальной точкой. Эта точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол можно обозначить тремя буквами, например ∠ABC: средняя буква B указывает вершину, а A и C — точки на сторонах. Если у вершины только один угол, его можно обозначить одной буквой, например ∠B.

Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, а тупой больше 90°, но меньше 180°. Угол ровно в 180° называется развернутым. Чтобы определить вид угла по числу градусов, сравни его меру с 90° и 180°: это позволяет не полагаться только на то, как угол выглядит на рисунке.

Смежные углы имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами. Противоположные лучи лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. По этому признаку можно проверить, действительно ли два угла составляют пару смежных, а не просто соприкасаются сторонами.

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. У них общая вершина, но нет общей стороны: углы расположены напротив друг друга. Стороны одного угла являются продолжениями сторон другого, поэтому такое расположение легко узнать на чертеже с пересекающимися прямыми.

Как это устроено

Градусная мера показывает, насколько один луч повернули относительно другого вокруг вершины. Поэтому один угол может быть меньше, а другой — больше: чем сильнее поворот, тем больше мера. Угол в 90° служит границей между острыми и тупыми углами, а 180° соответствует повороту до положения, когда стороны становятся противоположными лучами. Так появляются четыре вида углов: острый, прямой, тупой и развернутый.

Представь угол с общей стороной и проведи прямую через его вершину так, чтобы продолжить одну из сторон за вершину. Часть прямой по другую сторону вершины образует противоположный луч. Он становится второй, внешней стороной нового угла, а общая сторона остаётся его первой стороной. В результате исходный и новый углы имеют одну вершину и одну сторону, а две оставшиеся стороны лежат на одной прямой.

Сумма смежных углов равна 180°, потому что вместе они образуют развернутый угол. Их общая сторона делит полный разворот на две части, поэтому меры частей складываются в меру целого. Например, если один угол равен 70°, другой должен составлять 110°: 70° + 110° = 180°. Это свойство помогает находить неизвестный угол вычитанием из 180°.

Когда пересекаются две прямые, они образуют четыре угла с общей вершиной. Угол напротив выбранного не имеет с ним общей стороны, а каждая его сторона продолжает одну из сторон первого угла. Такая пара называется вертикальной; у четырёх углов на рисунке получается две пары вертикальных углов. Остальные пары соседствуют и являются смежными.

Вертикальные углы равны не просто потому, что стоят напротив друг друга на рисунке. Каждый из них смежен с одним и тем же соседним углом, а сумма каждой такой пары равна 180°. Если от 180° вычесть одну и ту же величину соседнего угла, получится одинаковая мера для обоих вертикальных углов. Поэтому знание одного угла при пересечении прямых позволяет найти все остальные.

Виды углов, смежные и вертикальные углы

Сначала найди вершину и стороны углов, а затем сравни их расположение с признаками в таблице. Если известна градусная мера, сверяй её с 90° и 180°. Для пары углов отдельно проверь, есть ли общая сторона или углы расположены напротив друг друга.

Разбор задач

Задача 1. Определи вид углов с мерами 35°, 90°, 127° и 180°. Чтобы не перепутать названия, сравним каждую величину с границами 90° и 180°. Эти границы позволяют отнести любую из четырёх мер к нужному виду.

1. 35° меньше 90°, значит, это острый угол.
2. 90° — точная мера прямого угла.
3. 127° больше 90°, но меньше 180°, значит, угол тупой.
4. 180° — мера развернутого угла.

Ответ: 35° — острый, 90° — прямой, 127° — тупой, 180° — развернутый. Проверка: ни одну меру не назвали тупой, если она равна 90° или 180°. Именно сравнение с границами помогает быстро классифицировать углы.

Задача 2. Два смежных угла равны 68° и x°. Найди x. Смежные углы вместе образуют развернутый угол, поэтому их меры в сумме дают 180°. Запишем это свойство как уравнение и выразим неизвестную меру.

1. Составим равенство: x + 68° = 180°.
2. Вычтем 68° из 180°: x = 180° − 68°.
3. Вычислим: x = 112°.

Ответ: x = 112°. Проверим сумму: 68° + 112° = 180°. Значит, найденная величина подходит для смежного угла.

Задача 3. При пересечении двух прямых один из углов равен 47°. Найди остальные три угла. Напротив данного угла расположен вертикальный, а два других угла соседствуют с ним. Используем отдельно свойства вертикальных и смежных углов.

1. Вертикальный угол равен данному, значит, он тоже равен 47°.
2. Каждый соседний угол смежен с углом 47°, поэтому его мера равна 180° − 47°.
3. Вычислим: 180° − 47° = 133°. Оба соседних угла равны 133°.

Ответ: остальные углы равны 47°, 133° и 133°. Проверим: у каждой соседней пары сумма 47° + 133° = 180°. Напротив лежат равные углы, как и должно быть у вертикальной пары.

Типичные ошибки

Ошибка: считать угол в 90° тупым. Так думают, когда ориентируются только на внешний вид чертежа, который может быть нарисован неточно. У прямого угла ровно 90°, а тупой строго больше 90° и меньше 180°. Проверь градусную меру: границы не входят в промежуток тупых углов.

Ошибка: называть смежными любые углы с общей стороной. Общая сторона — только один признак, поэтому соседние углы могут не быть смежными. Две другие стороны смежных углов обязательно должны быть противоположными лучами. Проведи их мысленно: если они не лежат на одной прямой в противоположных направлениях, пара не смежная.

Ошибка: путать вертикальные и смежные углы. У смежных углов есть общая сторона, а вертикальные стоят напротив друг друга и общей стороны не имеют. Путаница возникает из-за того, что обе пары могут появиться при пересечении прямых. Проверь, делят ли углы одну сторону или их стороны попарно продолжают друг друга.

Ошибка: утверждать, что сумма вертикальных углов равна 180°. Число 180° относится к сумме смежных углов, а вертикальные углы равны. Эти свойства путают, потому что обе пары образуются рядом при пересечении прямых. Для проверки найди углы напротив друг друга: их меры должны совпасть, а не обязательно сложиться в 180°.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно знать, что такое точка, прямая, луч и вершина, а также понимать градусную меру. Умение измерять угол транспортиром помогает проверить чертёж и определить вид угла. Свойства смежных и вертикальных углов пригодятся при изучении треугольников и вычислении их углов. Они также помогают решать задачи о пересекающихся и параллельных прямых, находя неизвестные величины по уже известным.

Что запомнить

• Острый угол меньше 90°.
• Прямой угол равен 90°.
• Тупой угол больше 90°, но меньше 180°.
• Развернутый угол равен 180°.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Вертикальные углы равны.