"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Угол — фигура, которую образуют два луча с общим началом. Он помогает описывать поворот и форму геометрических фигур. Общее начало лучей называют вершиной, а сами лучи — сторонами угла. Угол обозначают одной или тремя буквами, причём при записи тремя буквами вершина стоит посередине. Два угла равны, если их можно совместить наложением так, чтобы совпали вершины и соответствующие стороны; длина сторон при этом значения не имеет.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол — это фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи ограничивают часть плоскости, которая тоже входит в угол. Представь два луча, выходящие из одной точки в разные стороны: между ними находится область угла. Это определение помогает отличать угол от просто пары линий или отрезков.
Стороны угла — два луча, которые его образуют. Они начинаются в одной точке и расходятся в разных направлениях. Сторонами называют именно лучи, а не только видимые на чертеже кусочки линий. Это нужно помнить, чтобы правильно называть части угла.
Вершина угла — общее начало лучей, образующих угол. Например, если лучи BA и BC начинаются в точке B, то B — вершина угла ABC. Вершина показывает, в какой точке сходятся стороны. Без неё нельзя точно описать расположение угла.
Равными называют углы, которые можно совместить наложением так, чтобы их стороны совпали. При этом одна фигура может быть повёрнута или передвинута. Такое определение помогает сравнивать углы, даже если они нарисованы в разных местах. Длины сторон для равенства не важны.
Чтобы получить угол, сначала отметь точку, а затем проведи из неё два луча. Они имеют общее начало и делят плоскость на части; одну из частей рассматривают как угол. Каждый луч служит границей этой части, поэтому оба луча входят в фигуру как её стороны. Если изменить направление одного луча, получится угол другой формы.
Название угла часто записывают тремя буквами, например ∠ABC. Средняя буква B обозначает вершину, а крайние A и C помогают понять, какие стороны имеются в виду: лучи BA и BC. Вершину ставят посередине потому, что она общая для обеих сторон и определяет, где сходятся лучи. Если переставить буквы так, что вершина окажется с краю, запись будет прочитана неправильно.
Иногда угол обозначают одной буквой, например ∠B. Так можно сделать, когда из точки B выходит только один рассматриваемый угол или рисунок не оставляет сомнений, о каком угле говорится. Если у вершины B отмечено несколько углов, одного названия недостаточно: читатель не поймёт, какой из них выбран. Тогда используют три буквы.
Чтобы проверить равенство углов, один угол мысленно перемещают или поворачивают и накладывают на другой. Если вершины попали в одну точку и каждая сторона первого угла совпала с соответствующей стороной второго, углы равны. Совпадение сторон показывает, что совпала и область между ними. Если хотя бы одна сторона не совпала, наложение не подтвердило равенство.
Равные углы не обязаны лежать рядом или смотреть в одну сторону. Один угол можно повернуть либо перенести, чтобы совместить его с другим. На рисунках стороны одного угла могут быть длиннее, чем стороны другого, поскольку лучи продолжаются бесконечно и их видимая длина зависит от чертежа. Значение имеет возможность совместить вершины и направления соответствующих сторон, а не размер нарисованных отрезков.
| Что рассматриваем | Основная характеристика | Как обозначают или проверяют |
|---|---|---|
| Угол | Фигура из двух лучей с общим началом, ограничивающих часть плоскости | Обозначают буквами у вершины и на сторонах |
| Стороны угла | Два луча с общим началом | Называют по точкам на лучах |
| Вершина угла | Общее начало сторон | В записи тремя буквами указывают посередине |
| Равные углы | Совмещаются наложением с совпадением вершины и сторон | Проверяют наложением, длину сторон не сравнивают |
Сначала найди общую точку лучей: это вершина, а сами лучи — стороны угла. В записи тремя буквами проверь, что вершина стоит посередине. Для сравнения углов пользуйся последней строкой: решает совпадение при наложении, а не видимая длина сторон.
Задача 1. На рисунке отмечены лучи BA и BC. Назовите вершину и стороны угла ABC.
Ответ: вершина — B, стороны — лучи BA и BC. Проверить себя можно по обозначению: средняя буква в ∠ABC указывает на вершину. Крайние буквы A и C соответствуют точкам на сторонах.
Задача 2. Точка O — общая вершина нескольких углов. Обозначьте угол между лучами OA и OB тремя буквами.
Ответ: ∠AOB. Буква O в середине показывает, где находится вершина. Порядок крайних букв можно поменять: ∠BOA также обозначает угол между лучами OA и OB.
Задача 3. Даны два угла на разных рисунках. Объясните, равны ли они, если при наложении их вершины и соответствующие стороны совпадают.
Ответ: углы равны. То, что на разных рисунках они могли быть повёрнуты или нарисованы с лучами разной длины, не меняет вывода. Решение основано на возможности совместить углы наложением.
При записи тремя буквами иногда ставят вершину первой или последней. Ошибка появляется, если забыть, что именно средняя буква обозначает общую точку сторон. Проверь себя: найди начало обоих лучей и поставь его букву в середину названия, например ∠ABC.
Некоторые называют стороной угла отрезок, видимый на рисунке. Так происходит потому, что на чертеже луч часто изображают короткой линией. Но сторона — луч, который начинается в вершине и продолжается бесконечно; при проверке проследи, откуда он выходит и в каком направлении идёт.
Нельзя делать вывод о равенстве углов только по длине нарисованных сторон или по тому, насколько крупно они изображены. Видимая длина луча зависит от чертежа, а при наложении его можно передвинуть или повернуть. Чтобы проверить себя, совмести углы и сравни вершины и соответствующие стороны.
Одна буква у вершины не всегда указывает на единственный угол. Если из этой точки выходят несколько лучей, там может быть несколько углов, и обозначение вроде ∠O окажется неясным. Уточни название тремя буквами, чтобы указать нужные стороны и избежать неоднозначности.
Для работы с углами нужно знать, что такое точка, прямая и луч, а также уметь читать геометрические обозначения. Эти понятия помогают распознавать вершину и стороны и понимать, какие лучи задают угол. Позже равенство углов пригодится при измерении углов и изучении геометрических фигур. Сравнение углов также помогает обосновывать свойства фигур и строить доказательства.
Почему вершину угла записывают посередине?
Вершина — общая точка двух сторон, поэтому именно она определяет, где расположен угол. В записи ∠ABC средняя буква B показывает, что вершина угла — точка B.
Можно ли обозначить угол одной буквой?
Да, угол можно обозначить одной буквой, поставленной у его вершины. Это удобно, если из рисунка ясно, какой именно угол имеется в виду.
Почему сторона угла — луч, а не отрезок?
Угол образуют два луча, выходящие из одной точки и продолжающиеся бесконечно. Отрезок имеет конец, поэтому он не заменяет сторону угла.
Как проверить, равны ли два угла?
Нужно мысленно или с помощью вырезанной фигуры наложить один угол на другой. Если совпали вершины и соответствующие стороны, углы равны.
Могут ли равные углы выглядеть на рисунке по-разному?
Да. Их стороны могут быть разной длины, а сами углы — по-разному расположены на листе. Равенство проверяют наложением, а не сравнением внешнего вида рисунков.
§ 1. Углы. Равенство углов
