§ 3. Действия с числовыми и буквенными выражениями

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 12 + 3 · 4 — числовое выражение, потому что в нём есть числа и действия. Если выполнить все действия, получится число; такие записи нужны, чтобы коротко показать вычисление.

Буквенное выражение — запись, в которой есть числа, буквы, знаки действий и, возможно, скобки. Например, a + 7 и 3 · (b − 2) — буквенные выражения. Буква может обозначать неизвестное или заранее известное число, а запись позволяет описать вычисления сразу для разных чисел.

Переменная — буква, которой обозначают число, способное принимать разные значения. Например, если x — число карандашей, то выражение 2x показывает число карандашей в двух одинаковых наборах. При разных значениях x результат тоже будет разным, поэтому переменные помогают записывать общие правила.

Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий; в буквенном выражении для этого сначала задают значения букв. Например, при a = 4 выражение a + 7 имеет значение 11. Указание значений букв позволяет понять, какой именно результат нужно найти.

Как это устроено

Выражение составляют из чисел или букв, знаков действий и скобок. Знак показывает, что нужно сделать с числами или буквами, а скобки помогают объединить часть записи и указать, какие действия связаны между собой. Например, 5 · (a + 2) означает, что сумму a и 2 умножают на 5; без скобок запись имела бы другой смысл.

Действия выполняют в определённом порядке, чтобы у одной записи был один и тот же результат у всех, кто её вычисляет. Сначала считают в скобках, потому что они выделяют часть выражения, которую нужно выполнить первой. Затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание; действия одинаковой ступени выполняют слева направо.

Чтобы найти значение буквенного выражения, вместо каждой буквы подставляют заданное число, а потом выполняют действия по правилам. Подстановка превращает буквенную запись в числовое выражение, поэтому результат можно вычислить обычным способом. Например, если a = 3, то a + 5 превращается в 3 + 5 и равно 8.

Отрицательное число или выражение при подстановке заключают в скобки, чтобы показать его целиком и не спутать знак числа со знаком действия. Если a = −4, то запись 3a нужно заменить на 3 · (−4), а не на 3 · − 4 без ясного обозначения границ числа. Скобки особенно помогают, когда подставленное значение стоит рядом с умножением, делением или другими действиями.

Свойства сложения и умножения помогают менять удобным образом группировку чисел и порядок множителей, не меняя результата. Например, в сумме 18 + 7 + 2 удобно сначала сложить 18 и 2, а затем прибавить 7: получится 27. При умножении можно сгруппировать 25 и 4, чтобы сначала получить 100; такие приёмы упрощают и числовые, и буквенные вычисления.

Числовые и буквенные выражения

Сравни характеристики двух видов выражений. Пользуйся таблицей так: сначала определи, есть ли в записи буквы, а затем выясни, что требуется найти. Порядок действий остаётся тем же, но для буквенного выражения нужно учесть заданные значения букв.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить значение выражения 48 + 36 : 6 − 5 · 2. Здесь нет скобок, но есть деление и умножение вместе со сложением и вычитанием. Сначала выполняем деление и умножение, а потом оставшиеся действия слева направо.

1. Выполняем деление: 36 : 6 = 6. Получаем 48 + 6 − 5 · 2.
2. Выполняем умножение: 5 · 2 = 10. Теперь выражение равно 48 + 6 − 10.
3. Считаем слева направо: 48 + 6 = 54, затем 54 − 10 = 44.

Ответ: 44. Проверка порядка действий показывает, почему нельзя сразу считать 48 + 36 слева направо: сложение выполняется после умножения и деления.

Задача 2. Вычислить значение выражения 120 − (18 + 6 · 3) : 4. Сначала нужно выполнить действия в скобках, причём внутри скобок умножение предшествует сложению. После этого делим полученный результат и вычитаем его из 120.

1. В скобках выполняем умножение: 6 · 3 = 18. Получается 120 − (18 + 18) : 4.
2. Завершаем вычисление в скобках: 18 + 18 = 36. Получаем 120 − 36 : 4.
3. Выполняем деление: 36 : 4 = 9. Затем вычитаем: 120 − 9 = 111.

Ответ: 111. Мы не делили и не вычитали до подсчёта скобок, потому что скобки задают первую часть порядка действий.

Задача 3. Найти значение выражения 2(a + 3b) − 4 при a = 5 и b = 2. Сначала заменяем каждую букву её значением, сохраняя скобки. Затем выполняем действия по порядку, начиная с вычислений внутри скобок.

1. Подставляем значения: 2(5 + 3 · 2) − 4. Запись 3b означает умножение 3 на b.
2. В скобках выполняем умножение: 3 · 2 = 6. Получаем 2(5 + 6) − 4.
3. Складываем в скобках: 5 + 6 = 11. Затем умножаем: 2 · 11 = 22.
4. Вычитаем 4: 22 − 4 = 18.

Ответ: 18. Подстановка превращает буквенное выражение в числовое, а затем достаточно соблюдать обычный порядок действий.

Типичные ошибки

Иногда действия выполняют просто слева направо и, например, сначала складывают, хотя в выражении есть умножение или деление. Так ошибаются, если не замечают, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Проверь себя: отметь действия по порядку и сначала выполни умножение и деление, двигаясь слева направо.

Другая ошибка — начать вычисления за скобками или раскрыть их без необходимости, не выполнив действия внутри. Скобки могут объединять сумму или разность, которую нужно посчитать первой, поэтому пропуск этого шага меняет результат. Для проверки сначала перепиши и вычисли выражение в скобках, а затем переходи к остальным действиям.

При подстановке отрицательного числа иногда забывают скобки и теряют границы числа. Например, если x = −2, вместо 3x нужно записать 3 · (−2): так ясно, что умножается именно отрицательное число. Перед вычислением сравни исходное выражение и запись после подстановки: каждый знак минус, входящий в значение буквы, должен остаться внутри скобок.

Буквенное выражение могут объявить вычисленным, хотя значения букв не заданы или не все подставлены. Это происходит, когда путают саму запись с её числовым значением: выражение a + 6 при разных a даёт разные числа. Проверь ответ: указаны ли значения всех букв и получено ли конкретное число; если нет, результат следует оставить буквенным или пояснить, при каких значениях он найден.

Связь с другими темами

Для работы с выражениями нужны таблица умножения, навыки устных и письменных вычислений и знание арифметических действий. Правило порядка действий помогает не менять смысл записи при вычислении. Позже буквенные выражения пригодятся при составлении формул, преобразовании записей, решении уравнений и задач с буквенными данными.

Формулы позволяют находить периметр, площадь, расстояние, стоимость и другие величины, когда известны нужные данные. Например, если цена одного предмета равна p, то стоимость n таких предметов можно записать как np. Подставив конкретные числа, получаем числовое выражение и вычисляем ответ.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит только из чисел, знаков действий и скобок.
• Буквенное выражение содержит буквы, значения которых могут быть известны или неизвестны.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Значение буквенного выражения находят после подстановки значений букв.
• Отрицательное число при подстановке записывают в скобках.
• Свойства действий помогают упрощать вычисления и буквенные выражения.