"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Умножение многозначных чисел выполняют по разрядам: сначала умножают на единицы, затем на десятки, сотни и другие цифры множителя. Для каждого разряда получают неполное произведение, записывая его с нужным сдвигом. Затем все неполные произведения складывают. Такой способ помогает правильно учитывать единицы, десятки и сотни, а оценка результата позволяет заметить ошибку.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, в записи которого используются две или более цифры. У каждой цифры есть разряд: единицы, десятки, сотни и другие. При умножении разряд показывает, сколько единиц, десятков или сотен нужно учесть.
Множители — числа, которые перемножают. В записи столбиком их располагают друг под другом, обычно меньшее число пишут снизу, а одноимённые разряды совмещают. Такая запись помогает не перепутать единицы с десятками.
Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей. Например, в записи 6 · 7 = 42 числа 6 и 7 — множители, а 42 — произведение. При письменном умножении полное произведение получают после сложения промежуточных результатов.
Неполное произведение — результат умножения одного множителя на отдельную цифру другого с учётом её разрядного значения. Например, при умножении на десятки строку записывают со сдвигом влево. Несколько неполных произведений складываются и образуют общий ответ.
Многозначное число можно представить как сумму разрядных слагаемых. Например, 324 = 300 + 20 + 4. Поэтому при умножении можно умножить другой множитель на каждую часть отдельно, а затем сложить результаты: это основано на распределительном свойстве умножения. Такой подход объясняет, почему письменный алгоритм работает по разрядам.
При умножении многозначного числа на однозначное начинают с единиц и двигаются справа налево. Если произведение цифры и множителя получилось двузначным, его единицы оставляют в текущем разряде, а десятки переносят в следующий. Перенос нужно прибавить к следующему произведению, потому что эти десятки уже относятся к более старшему разряду.
При умножении на многозначное число каждая его цифра задаёт отдельную часть вычисления. Умножение на цифру единиц даёт первое неполное произведение, на цифру десятков — второе, на сотни — третье. Отдельные строки нужны потому, что каждая цифра имеет собственное разрядное значение.
Произведение на десятки записывают со сдвигом на один разряд влево, а произведение на сотни — на два разряда. Например, умножить на 30 — значит умножить на 3 и получить десятки, поэтому в конце результата появляется разряд десятков. Сдвиг сохраняет настоящее значение цифры второго множителя.
После всех умножений неполные произведения складывают по разрядам. Это равносильно сложению результатов умножения на разрядные слагаемые второго множителя. Примерный порядок можно оценить округлением: 247 · 35 примерно равно 250 · 40 = 10 000, значит, точный ответ должен быть около десяти тысяч.
Таблица показывает общий порядок действий при вычислении столбиком. Ею удобно пользоваться как короткой памяткой: сначала проверьте запись разрядов, затем выполните умножение и сложение. После этого сравните ответ с примерной оценкой.
| Этап | Что делаем | Почему это нужно |
|---|---|---|
| Запись множителей | Записываем множители друг под другом, обычно меньший — под большим, разряды располагаем один под другим | Обеспечиваем правильное соответствие единиц, десятков, сотен и других разрядов |
| Умножение на цифру единиц | Умножаем верхний множитель на цифру единиц нижнего множителя справа налево, выполняя перенос | Получаем первое неполное произведение |
| Умножение на цифру десятков и последующие разряды | Умножаем верхний множитель на очередную цифру нижнего множителя, начиная запись с соответствующего разряда | Учитываем разрядное значение цифры второго множителя |
| Сложение неполных произведений | Складываем полученные строки по разрядам | Получаем полное произведение |
| Проверка результата | Сравниваем порядок результата с приближённой оценкой или выполняем проверку другим способом | Обнаруживаем возможные ошибки в вычислениях |
Здесь один множитель однозначный, поэтому получится одна строка вычислений. Начинаем справа, чтобы переносить десятки в соседний разряд. Запись можно представить так: 324 · 6.
Итак, 324 · 6 = 1944. Проверка по округлению: 324 близко к 300, а 300 · 6 = 1800, поэтому ответ 1944 имеет подходящий порядок.
Число 35 состоит из 3 десятков и 5 единиц, поэтому будут два неполных произведения. Сначала умножаем 247 на 5, затем на 3 десятка и складываем строки. Вторую строку начинаем со сдвигом на один разряд.
Ответ: 247 · 35 = 8645. Прикидка 250 · 40 = 10 000 показывает, что результат должен быть близок к десяти тысячам.
В числе 306 цифра десятков равна нулю. Поэтому произведение на десятки равно нулю, а произведение на 6 единиц и на 3 сотни нужно разместить с правильными сдвигами.
Ответ: 1204 · 306 = 368424. Оценка 1200 · 300 = 360000 подтверждает правильный порядок результата.
Начинают слева направо. Так легко потерять перенос, ведь он появляется после обработки младшего разряда. Начинайте с единиц и отмечайте каждый перенос.
Не переносят десятки или прибавляют их не туда. Двузначное произведение нельзя целиком записать в одну клетку. Единицы оставляют справа, а десятки прибавляют к следующему произведению.
Не делают разрядный сдвиг. Произведение на десятки ошибочно записывают как обычную вторую строку. Проверьте, что строка для десятков начинается на один разряд левее строки для единиц.
Пропускают ноль в промежуточном разряде. Ноль может показаться ненужным, но он обозначает место разряда. Если цифра второго множителя равна нулю, сохраните нужный сдвиг и проверьте число знаков в ответе.
Для этой темы нужны знания о разрядах и классах многозначных чисел, таблица умножения, сложение столбиком и распределительное свойство умножения. Эти умения помогают понять запись и не ошибаться в вычислениях.
Письменное умножение пригодится при делении многозначных чисел, решении текстовых задач и вычислениях с величинами. Оно также подготавливает к действиям с десятичными дробями и выражениями, где встречается несколько арифметических действий.
Почему умножение столбиком начинают именно справа?
Справа находятся единицы — самый младший разряд. Если начинать с единиц, перенос десятков можно сразу прибавить к следующему, более старшему разряду.
Зачем во второй строке неполного произведения ставить сдвиг на один разряд?
Цифра десятков означает не отдельные единицы, а десятки. Поэтому произведение на неё записывают на один разряд левее, то есть умножают с учётом десятикратного значения.
Что делать, если в одном из разрядов второго множителя стоит ноль?
Умножение на ноль даёт нулевое неполное произведение. Строку можно не записывать, но её разрядный сдвиг нужно мысленно учитывать, чтобы следующие произведения оказались на правильных местах.
Куда записывать перенос, если произведение цифр получилось двузначным?
Единицы полученного произведения записывают в текущий разряд. Десятки переносят в следующий разряд и прибавляют к следующему произведению.
Как быстро проверить, не слишком ли велик или мал полученный результат?
Округлите множители до удобных чисел и приблизительно перемножьте их. Если точный результат имеет совсем другой порядок, например вместо миллионов получились тысячи, значит, в вычислении, скорее всего, есть ошибка.
§ 2. Умножение многозначных чисел
