§ 1. Законы умножения

Определения и обозначения

Переместительное свойство умножения: произведение не меняется, если множители поменять местами; a · b = b · a. Множители — это числа, которые перемножают. Например, 4 · 6 и 6 · 4 дают одно и то же число, поэтому можно поставить первым тот множитель, с которого удобнее считать.

Сочетательное свойство умножения: произведение не меняется при изменении группировки множителей; (a · b) · c = a · (b · c). Здесь порядок чисел остаётся прежним, но скобки показывают, какие два множителя соединить первыми. Это позволяет выбрать удобную пару, не теряя остальные множители.

Распределительное свойство умножения относительно сложения: умножение суммы на число равно сумме произведений; a · (b + c) = a · b + a · c. Значит, множитель перед скобками нужно умножить на каждое слагаемое внутри. Свойство помогает раскрывать скобки или, наоборот, заменять сумму произведений одним произведением.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания: произведение разности на число равно разности произведений; a · (b − c) = a · b − a · c. Число умножают и на уменьшаемое, и на вычитаемое, а между результатами оставляют знак минус. Это удобно, когда один из множителей близок к круглому числу.

Как это устроено

Представь 3 ряда по 5 клеток в каждом: всего 3 · 5 клеток. Если пересчитать те же клетки столбцами, получится 5 столбцов по 3 клетки, то есть 5 · 3. Клетки не исчезли и не добавились — поменялось только то, как мы их сгруппировали для подсчёта. Поэтому число групп и количество предметов в каждой группе можно поменять ролями: произведение останется прежним.

Пусть нужно найти 2 · 3 · 4. Можно сначала взять 2 · 3, а потом умножить результат на 4: получится 6 · 4. Можно сначала перемножить 3 · 4, а потом умножить на 2: получится 2 · 12. В обоих случаях считаются те же группы предметов, поэтому ответ одинаков. Скобки помогают показать выбранный шаг: (2 · 3) · 4 или 2 · (3 · 4); ни один множитель при этом нельзя пропускать.

Представим 4 одинаковые коробки, в каждой из которых лежат 6 красных и 2 синих карандаша. В каждой коробке 6 + 2 карандаша, поэтому для всех коробок можно записать 4 · (6 + 2). Можно сначала посчитать красные карандаши во всех коробках, затем синие: 4 · 6 + 4 · 2. Получается то же количество, потому что каждая из четырёх коробок содержит обе части набора. Так возникает правило a · (b + c) = a · b + a · c.

Для разности можно представить в каждой из четырёх коробок 10 карандашей, из которых 2 убрали. Осталось 10 − 2 карандаша в каждой коробке, а всего — 4 · (10 − 2). Если сначала посчитать все карандаши до того, как их убрали, и затем вычесть убранные, выйдет 4 · 10 − 4 · 2. Значит, множитель относится к обоим числам в скобках, а знак между полученными произведениями остаётся минусом.

Эти свойства помогают выбирать короткий путь вычислений. Множители можно переставить и сгруппировать так, чтобы получить круглое число, например 25 · 4 = 100. Если в нескольких слагаемых есть одинаковый множитель, его можно вынести за скобки, а число около круглого значения представить как сумму или разность. При любом таком преобразовании проверь, что все слагаемые и множители учтены, а знаки сохранены.

Законы умножения и их применение

Сначала определи, что именно нужно сделать: переставить множители, изменить их группировку или раскрыть скобки. Затем выбери запись из таблицы и проверь, что преобразование подходит к выражению. После этого вычисли результат удобным способом.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 7 · 25 · 4 удобным способом. В этом произведении видна пара 25 и 4: её легко перемножить, потому что результатом будет круглое число. Переместительное и сочетательное свойства позволяют поставить эти множители рядом и объединить скобками.

1. Переставим множители, не меняя произведение: 7 · 25 · 4 = 7 · 25 · 4, но сгруппируем 25 и 4: 7 · (25 · 4).
2. Сначала вычислим в скобках: 25 · 4 = 100.
3. Умножим оставшийся множитель на полученное число: 7 · 100 = 700.

Ответ: 700. Такой порядок удобнее, чем последовательно вычислять 7 · 25, потому что при умножении на 100 легко приписать два нуля. Важно, что множитель 7 остался на месте и не потерялся.

Задача 2. Вычислите 18 · 37 + 18 · 63. Здесь складываются два произведения, и в каждом есть общий множитель 18. Вместо того чтобы отдельно умножать 18 на 37 и на 63, можно применить распределительное свойство в обратном направлении и вынести 18 за скобки.

1. Запишем общий множитель перед скобками: 18 · 37 + 18 · 63 = 18 · (37 + 63).
2. Сложим числа в скобках: 37 + 63 = 100.
3. Вычислим произведение: 18 · 100 = 1800.

Ответ: 1800. Проверка идеи: если раскрыть скобки в выражении 18 · (37 + 63), снова получатся два исходных произведения. Значит, общий множитель вынесен правильно, а оба числа внутри скобок учтены.

Задача 3. Вычислите 36 · 99, не выполняя умножение столбиком. Число 99 всего на единицу меньше 100, а умножать на 100 легко. Запишем 99 как 100 − 1 и используем распределительное свойство для разности.

1. Заменим множитель: 36 · 99 = 36 · (100 − 1).
2. Умножим 36 на каждое число в скобках и сохраним вычитание: 36 · 100 − 36 · 1.
3. Вычислим произведения и разность: 3600 − 36 = 3564.

Ответ: 3564. Можно проверить, что 99 групп по 36 на одну такую группу меньше, чем 100 групп по 36. Поэтому от 3600 нужно отнять ровно 36, а не прибавить его.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что переместительное свойство позволяет переставлять слагаемые внутри любого выражения с умножением. Оно меняет местами только множители одного произведения: например, 4 · 7 можно записать как 7 · 4. Чтобы переставлять слагаемые, нужно учитывать сложение и порядок действий отдельно. Проверь себя: после перестановки должны остаться те же множители, соединённые умножением.

Вторая ошибка — при изменении группировки потерять множитель или незаметно изменить число. Такое случается, когда ученик переставляет скобки и следит только за выбранной парой. Запиши все множители до и после преобразования, например (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5). Если множителей стало меньше или одно число изменилось, равенство записано неверно.

Третья ошибка — умножить число перед скобками только на первое слагаемое: a · (b + c) записать как a · b + c. Обычно так делают, потому что не замечают, что множитель относится ко всему выражению в скобках. При раскрытии скобок повтори множитель перед каждым слагаемым и проверь результат на простых числах. Например, 2 · (3 + 4) должно дать 14, а не 10.

Четвёртая ошибка — при умножении разности заменить вычитание сложением. В выражении a · (b − c) второе произведение вычитается: a · b − a · c. Знак теряют, когда механически раскрывают скобки и не читают, какая операция стояла между числами. Проверь запись обратным раскрытием скобок: a · b − a · c должно превращаться в a · (b − c).

Связь с другими темами

Для работы с законами умножения нужно уметь умножать натуральные числа, понимать порядок действий и знать, какую роль играют скобки. Если эти умения пока вызывают затруднения, сначала потренируйся вычислять простые произведения и выражения со скобками. Затем свойства умножения помогут выполнять устные вычисления короче и упрощать числовые выражения. Они также пригодятся при решении уравнений, когда выражение нужно преобразовать, сохранив его значение.

Что запомнить

• От перестановки множителей произведение не меняется.
• При умножении нескольких чисел можно менять группировку множителей.
• Скобки помогают показать, какие множители объединены.
• Множитель перед скобками умножают на каждый член внутри скобок.
• При умножении разности на число вычитается произведение этого числа на вычитаемое.
• Законы умножения помогают выбирать удобный порядок вычислений.