§ 3. Числовая прямая

Определения и обозначения

Числовая прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Благодаря этим элементам каждой точке можно поставить в соответствие число. Такая прямая помогает изображать, сравнивать числа и находить расстояния.

Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0. От неё откладывают единичные отрезки влево и вправо. Без этой точки нельзя однозначно определить положение остальных чисел.

Единичный отрезок — отрезок, задающий расстояние между соседними целыми числами. Если он равен 1 см, то расстояние между отметками 0 и 1, 1 и 2 тоже равно 1 см. Он задаёт масштаб прямой.

Координата точки — число, соответствующее положению точки на числовой прямой. Её записывают рядом с обозначением точки, например A(−3). Координата показывает, на сколько единичных отрезков точка удалена от нуля и в какую сторону.

Как это устроено

Обычная прямая сама по себе не сообщает, где находятся числа. Сначала на ней выбирают точку 0, затем одинаковый единичный отрезок и направление, которое считают положительным. После этого движение на один отрезок в выбранную сторону увеличивает координату на 1, а движение в обратную сторону уменьшает её на 1.

Обычно положительное направление показывают стрелкой вправо. Поэтому справа от нуля записывают 1, 2, 3 и другие положительные числа. Если двигаться от нуля влево, координаты уменьшаются: после 0 идут −1, −2, −3.

Чтобы построить точку по координате, сначала находят 0 и смотрят на знак числа. Для положительной координаты откладывают нужное число единичных отрезков вправо, а для отрицательной — влево. Например, точка с координатой −4 находится на четырёх отрезках левее нуля.

Чтобы определить координату отмеченной точки, считают единичные отрезки от начала отсчёта. Если точка справа, результат будет положительным, если слева — отрицательным, а точка в начале отсчёта имеет координату 0. При этом нужно учитывать выбранный масштаб: одна отметка может соответствовать не одной, а другой величине.

Числа сравнивают по положению соответствующих точек. Точка, расположенная правее, соответствует большему числу, потому что при движении вправо координаты возрастают. Расстояние между точками A(x₁) и B(x₂) находят так: |x₂ − x₁|, то есть берут модуль разности координат, чтобы результат был неотрицательным.

Элементы числовой прямой и действия с координатами

Сначала определите, с каким элементом или действием вы работаете. Затем воспользуйтесь третьим столбцом как короткой инструкцией. Если нужно сравнить числа или найти расстояние, удобно сначала представить их точки на прямой.

Разбор задач

Задача 1. На числовой прямой с единичным отрезком 1 см отметьте точки A(3), B(−2) и C(0). Нужно для каждой координаты выбрать правильное направление и число шагов от нуля.

1. Точку C(0) поставим в начале отсчёта.
2. Для A(3) отложим от нуля три единичных отрезка вправо.
3. Для B(−2) отложим два единичных отрезка влево.

Ответ: C находится в точке 0, A — на 3 см правее нуля, B — на 2 см левее нуля.

Задача 2. Сравните числа −4 и 2; −3 и −5; 0 и −1, используя числовую прямую. В каждом случае достаточно определить, какая из двух точек расположена правее.

1. Точка 2 правее точки −4, значит, −4 < 2.
2. Точка −3 правее точки −5, значит, −3 > −5.
3. Точка 0 правее точки −1, значит, 0 > −1.

Ответ: −4 < 2; −3 > −5; 0 > −1.

Задача 3. Найдите расстояние между A(−3) и B(5), а также координату точки, расположенной между ними на расстоянии 2 единицы от A. Сначала найдём длину отрезка, затем рассмотрим два направления движения от A.

1. Расстояние равно |5 − (−3)| = |8| = 8.
2. Из точки A(−3) вправо на 2 единицы попадём в точку с координатой −1.
3. Если двигаться от A влево на 2 единицы, получим −5, но эта точка не лежит между A и B.

Ответ: расстояние равно 8 единицам, искомая точка имеет координату −1.

Типичные ошибки

Отрицательные числа иногда откладывают вправо от нуля, потому что путают знак числа с направлением движения. На самом деле минус означает движение в сторону, противоположную положительному направлению. Проверьте себя: точка с координатой −2 должна быть левее точки 0.

Началом отсчёта считают первую отметку справа, а не точку с координатой 0. Такая ошибка появляется, если ученик начинает считать шаги, не найдя нулевую отметку. Сначала найдите число 0, а уже потом откладывайте от него единичные отрезки.

Отрицательные числа сравнивают по цифрам и считают −5 больше −2. Но на прямой −5 расположено левее −2, поэтому оно меньше. Для проверки мысленно двигайтесь вправо: −5, −4, −3, −2.

Расстояние между точками находят как обычную разность и получают отрицательный результат. Знак зависит от порядка вычитания, а длина отрезка от порядка не зависит. Используйте модуль: расстояние между x₁ и x₂ равно |x₂ − x₁|.

Связь с другими темами

До изучения числовой прямой нужно знать натуральные, целые и отрицательные числа, координаты и единицы измерения длины. Эти знания помогают понимать знаки чисел, считать шаги и выбирать подходящий масштаб. Без них трудно правильно построить точку или найти расстояние.

Дальше числовая прямая понадобится при сравнении чисел, изучении модуля и работе с координатной плоскостью. Она также помогает решать уравнения: неизвестному числу можно поставить в соответствие точку или положение на прямой. Так геометрическое изображение связывается с вычислениями.

Что запомнить

• Числовая прямая имеет начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление.
• Началу отсчёта соответствует число 0.
• Правее на числовой прямой расположены большие числа.
• Левее нуля находятся отрицательные числа, правее нуля — положительные.
• Координата точки показывает её положение относительно нуля.
• Расстояние между точками равно модулю разности их координат.