§ 2. Прямая

Определения и обозначения

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца. На рисунке её показывают только частью: бесконечно длинную линию нельзя целиком нарисовать на листе. Понимание этого помогает не считать край чертежа концом прямой.

Точка — геометрический объект, которым отмечают точное положение. Обычно её изображают маленькой отметкой и рядом ставят заглавную латинскую букву, например A или M. Буква позволяет назвать точку и отличить её от других точек на чертеже.

Принадлежность точки прямой означает, что точка лежит на этой прямой. Если точка A лежит на прямой a, пишут A ∈ a; если не лежит — A ∉ a. Эти знаки помогают кратко записать, какие точки входят в чертёжную линию, а какие находятся вне её.

Прямая через две точки — единственная прямая, проходящая через любые две различные точки. Её можно обозначить строчной латинской буквой или двумя заглавными буквами точек на ней. Это свойство позволяет точно задать прямую по двум отмеченным точкам.

Как это устроено

Настоящая прямая продолжается бесконечно, но лист бумаги и экран имеют конечный размер. Поэтому изображение неизбежно обрывается у края проведённой линии, хотя сама прямая там не заканчивается. Представь, что чертёж — это окно, через которое видна только часть длинной линии. Такое условное изображение удобно для работы, если помнить о продолжении в обе стороны.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами, чтобы не путать их между собой и с другими объектами. Прямую называют строчной буквой, например a, или буквами двух точек на ней: AB. В первом случае достаточно одной буквы, а во втором сразу видно, через какие отмеченные точки проходит прямая. Буквы около точек и прямой должны быть разборчивыми, иначе запись станет неоднозначной.

Через любые две различные точки можно провести ровно одну прямую. Если бы через одну пару точек проходили две разные прямые, у них оказалось бы две общие точки. Но две различные прямые не могут иметь более одной общей точки, поэтому такая ситуация невозможна. Свойство удобно при построении: отметь две точки и приложи линейку так, чтобы её край проходил через обе, — положение прямой будет задано однозначно.

Чтобы проверить принадлежность, посмотри, находится ли отметка точки непосредственно на изображённой линии. Если находится, точка лежит на прямой; если расположена в стороне, не лежит. Для короткой записи используют символы ∈ и ∉: например, M ∈ a или K ∉ a. Смотри именно на положение отметки точки, а не на букву, которой она названа.

Две различные прямые могут не пересекаться или пересечься в одной точке, но не в двух. Если бы две прямые имели две общие точки, через эти точки проходила бы единственная прямая. Значит, обе линии были бы одной и той же прямой, а не различными. Это рассуждение помогает проверять чертёж и объяснять, почему две точки пересечения невозможны.

Основные сведения о прямой

Сначала найди нужную строку по тому, что рассматривается: например, точка на прямой или две прямые. Затем проверь обозначение и используй его для записи ответа. Таблица помогает быстро вспомнить свойство, но принадлежность точки всё равно нужно проверять по чертежу.

Разбор задач

Задача 1

Отметьте точки A и B и проведите прямую через них. Обозначьте её двумя способами. Обозначение должно показать, что речь идёт об одной и той же прямой. Поскольку точки различны, для построения достаточно соединить их линейкой и продолжить линию в обе стороны.

1. Отметим на листе две различные точки A и B.
2. Приложим линейку к точкам и проведём через них линию, продолжив её в обе стороны.
3. Назовём прямую строчной буквой, например a. Второй способ — обозначить её буквами точек A и B.

По свойству прямой через две различные точки проходит только одна прямая, поэтому других вариантов построения через A и B нет. Ответ: прямая a, или прямая AB.

Задача 2

На чертеже прямая a проходит через точки M и N, но не проходит через точку K. Запишите это с помощью обозначений. Здесь нужно отдельно сообщить о двух точках, которые лежат на прямой, и об одной точке, которая расположена вне неё. Не перепутай знак принадлежности с обозначением самой прямой.

1. Проверяем точку M: она лежит на прямой a, значит, записываем M ∈ a.
2. Точка N также лежит на прямой a, поэтому записываем N ∈ a.
3. Точка K не лежит на прямой, значит, используем знак непринадлежности: K ∉ a.

Ответ: M ∈ a, N ∈ a, K ∉ a. Запись включает все три точки и показывает, какие из них принадлежат прямой.

Задача 3

Две различные прямые пересекаются в точке P. На одной из них лежит точка A, на другой — точка B. Может ли A совпадать с B? Чтобы ответить, нужно выяснить, может ли одна и та же точка лежать сразу на обеих прямых, и учесть, что у них уже есть общая точка P.

1. Точка пересечения P лежит на обеих прямых, то есть это их общая точка.
2. Если бы A совпадала с B, эта точка лежала бы на обеих прямых и была бы ещё одной общей точкой.
3. Тогда прямые имели бы две общие точки: P и точку A. Через две такие точки проходит только одна прямая, значит, линии совпали бы.

Но по условию прямые различны, поэтому совпадение A и B невозможно. Ответ: нет, A не может совпадать с B; единственная общая точка этих прямых — P.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что прямая заканчивается у края нарисованной линии. Так кажется, потому что на листе видны только ограниченные размеры чертежа. Проверь себя: прямая по определению не имеет концов, поэтому мысленно продолжай её в обе стороны.

Ошибка: перепутать обозначения точки и прямой. Это случается, если не обращать внимания на регистр букв: точку называют заглавной буквой, а прямую — строчной или двумя заглавными буквами точек на ней. Проверь запись: A — точка, a — прямая, AB — прямая через точки A и B.

Ошибка: утверждать, что через одну точку проходит только одна прямая. Вероятно, так рассуждают, перенося свойство двух точек на одну. Проверь себя: через одну точку можно провести линии в разных направлениях, а однозначное положение задают две различные точки.

Ошибка: считать, что две разные прямые могут иметь две общие точки. Если это кажется возможным по рисунку, внимательно сравни линии: две общие точки задают единственную прямую, поэтому обе линии совпали бы. Проверь, не изображены ли на самом деле две части одной прямой, а не две различные прямые.

Связь с другими темами

Перед изучением прямой нужно уметь отмечать точки и пользоваться линейкой, чтобы провести через них линию. Эти простые действия помогают выполнять аккуратные чертежи и записывать геометрические рассуждения. Если точки поставлены неточно, можно ошибиться в том, проходит ли через них прямая.

Понятие прямой пригодится при изучении отрезка и луча: они связаны с прямой, но отличаются тем, как ограничена их часть. Знание о пересечении прямых помогает описывать взаимное расположение геометрических фигур. Свойство единственной прямой через две точки используется при построении чертежей и решении геометрических задач.

Что запомнить

• Прямая не имеет начала и конца.
• На рисунке прямую изображают только частью.
• Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Точки обозначают заглавными латинскими буквами.
• Прямую можно обозначить строчной латинской буквой или двумя точками на ней.
• Две различные прямые имеют не более одной общей точки.