Прямая

Определения и обозначения

Прямая — геометрическая фигура, у которой нет ни начала, ни конца. Её можно мысленно продолжать в обе стороны сколько угодно. Это отличает прямую от фигур, ограниченных концами, и позволяет говорить о её продолжении за пределы рисунка. Такое понятие используют, когда нужно описать направление и расположение точек.

Точка лежит на прямой, если она находится на этой прямой. Если прямая обозначена буквой a, а точка — буквой A, принадлежность записывают так: A ∈ a. Знак ∈ читают «принадлежит» и связывают точку с линией, на которой она находится. Эта запись помогает кратко передавать условие задачи.

Точка не лежит на прямой, если она расположена вне неё. Например, запись A ∉ a означает, что точка A не принадлежит прямой a. Знак ∉ отличается от знака принадлежности перечёркнутой формой, поэтому важно не перепутать его при чтении условия. Такое обозначение позволяет явно указать, что точка находится не на линии.

Прямую обозначают строчной латинской буквой, например a, или называют по двум точкам, лежащим на ней: прямая AB. Буквы точек пишут заглавными, а порядок можно менять: AB и BA обозначают одну прямую. Название по точкам удобно, когда на чертеже уже отмечены эти точки. Буквенное обозначение помогает различать несколько прямых на одном рисунке.

Как это устроено

Прямую нельзя целиком изобразить на листе, потому что она продолжается без конца, а лист имеет ограниченные размеры. Поэтому проводят линию только по доступной части бумаги, а её края не считают концами самой прямой. Если нужно показать продолжение, рисунок мысленно продолжают за его границы. Так сохраняется различие между бесконечной прямой и конечным изображением.

Через любые две различные точки проходит единственная прямая. Две точки задают направление линии: если провести линию через обе, изменить её направление, не потеряв одну из точек, уже нельзя. Поэтому через одну и ту же пару точек не получится провести несколько разных прямых. Это свойство используют, чтобы однозначно определить прямую по двум точкам.

Если на прямой отмечены точки A и B, её называют прямой AB. Тот же объект можно назвать прямой BA, потому что при перестановке букв набор точек не меняется. В обоих случаях речь идёт о прямой, проходящей через A и B. Такое название не задаёт направление движения от первой точки ко второй: прямая продолжается в обе стороны.

Чтобы определить, лежит ли точка на прямой, сопоставляют её отметку с линией: отметка должна находиться непосредственно на линии, а не рядом с ней. Если точка A находится на прямой a, записывают A ∈ a; если вне её — A ∉ a. Смысл знака должен совпадать с условием или чертежом. Такая запись позволяет проверить, правильно ли описано взаимное расположение точки и прямой.

Для задания прямой достаточно двух различных точек: через них проходит ровно одна прямая. Третья точка может оказаться на этой прямой, и тогда все три точки лежат на одной линии. Она может находиться и вне прямой, что не меняет уже заданную линию через первые две точки. Поэтому третья точка нужна не для задания прямой, а для уточнения её расположения относительно неё.

Прямая: основные сведения

Таблица помогает быстро выбрать нужный способ обозначения: букву для прямой или знак для положения точки. Сначала найдите строку, которая соответствует условию, затем проверьте пример и сопоставьте его с чертежом. Особенно внимательно различайте знаки ∈ и ∉.

Разбор задач

Задача 1. Начерти прямую и обозначь её буквой a. Отметь на ней точку M и запиши, что она лежит на прямой. Нужно получить чертёж и соответствующую ему запись. Помним, что изображённый участок лишь показывает часть прямой.

1. Проведи линию и мысленно продолжи её за оба края рисунка.
2. Поставь точку M непосредственно на линии и обозначь её заглавной буквой.
3. Так как точка находится на прямой a, используй знак принадлежности ∈.

Ответ: M ∈ a. Если бы отметка M оказалась рядом с линией, запись была бы другой: точка не принадлежала бы прямой.

Задача 2. Через точки A и B проведи прямую. Назови её двумя способами и объясни, почему записи AB и BA обозначают одну прямую. Важно использовать обе точки и не принимать порядок букв за направление линии. Прямые, проходящие через разные пары точек, могут различаться, но здесь пара одна и та же.

1. Проведи линию через точки A и B; она продолжается в обе стороны.
2. Назови её прямой AB, а затем прямой BA.
3. Проверь: обе записи указывают на ту же пару точек, а через две различные точки проходит только одна прямая.

Ответ: прямая AB, или прямая BA. Перестановка букв не меняет ни саму пару точек, ни единственную прямую, которая через них проходит.

Задача 3. Точки A и B лежат на прямой c, а точка C на ней не лежит. Запиши эти сведения и определи, можно ли провести через A и B другую прямую. Здесь нужно отдельно указать принадлежность двух точек и непринадлежность третьей. Затем применить свойство единственности прямой через две различные точки.

1. Для точки A запиши A ∈ c, а для точки B — B ∈ c.
2. Точка C не находится на c, поэтому запиши C ∉ c.
3. Через A и B уже проходит прямая c; по свойству прямой другой прямой через эти две точки быть не может.

Ответ: A ∈ c, B ∈ c, C ∉ c; провести через A и B другую прямую нельзя. Положение точки C не меняет прямую, заданную точками A и B.

Типичные ошибки

Ошибка — считать изображённый на странице участок всей прямой. Так думают, потому что рисунок имеет видимый край и похож на конечную линию. Но края рисунка ограничивают только изображение, а не саму прямую. Проверь себя: вспомни, что прямую мысленно продолжают в обе стороны.

Ошибка — полагать, что через две точки можно провести несколько прямых. Кажется, что линию можно наклонить по-разному, но тогда она уже не будет проходить через обе заданные точки. Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Для проверки отметь обе точки и убедись, что рассматриваешь одну и ту же пару.

Иногда прямую, названную буквой, ошибочно считают другим объектом, чем прямую, названную по точкам. Буква и пара точек — лишь разные способы обозначить прямую, если они указывают на один и тот же объект. Например, прямая a может проходить через A и B и называться AB. Проверь чертёж: совпадает ли линия, о которой говорят оба обозначения.

Запись A ∈ a неверна, если точка A не лежит на прямой a. Путаница возникает, когда знак выбирают по памяти, не сверяясь с условием или чертежом. Перед записью проверь, находится ли отметка точки прямо на линии. Для точки вне линии нужен знак ∉, а не ∈.

Связь с другими темами

Для изучения прямой нужно знать, что такое точка, и уметь обозначать её заглавной латинской буквой. Без этого нельзя записать, через какие точки проходит прямая, или указать принадлежность точки линии. Позже понятие прямой пригодится при изучении луча и отрезка: их удобно сравнивать по наличию начала и конца. Оно также понадобится при рассмотрении пересечения прямых и взаимного расположения геометрических фигур.

Что запомнить

• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• На рисунке прямую изображают только частично.
• Прямую можно обозначить строчной латинской буквой.
• Прямую можно назвать по двум точкам, лежащим на ней.
• Через любые две различные точки проходит единственная прямая.
• Запись A ∈ a означает, что точка A лежит на прямой a.
• Запись A ∉ a означает, что точка A не лежит на прямой a.