"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Умножение многозначного числа на однозначное помогает быстро находить произведение, не складывая одинаковые числа много раз. Число раскладывают на разрядные слагаемые и умножают каждое из них на один и тот же множитель. При записи столбиком начинают с единиц, а десятки, сотни и другие разряды обрабатывают по очереди. Если произведение в разряде получилось двузначным, его десятки переносят к следующему разряду. Такой способ удобен для вычислений и становится основой письменного умножения больших чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Однозначное число — число, которое записывается одной цифрой от 0 до 9. В умножении на многозначное число оно выступает множителем, то есть числом, на которое умножают. Например, в записи 248 × 6 однозначный множитель — 6. Это название помогает отличить его от множителя, записанного несколькими цифрами.
Умножение многозначного числа на однозначное — нахождение произведения, которое можно вычислить по разрядам. Например, при умножении 248 на 6 отдельно учитывают единицы, десятки и сотни. Такой подход превращает вычисление с большим числом в несколько более простых действий. Результаты разрядов затем соединяют в одно произведение.
Письменное умножение столбиком — способ записи, при котором множители располагают один под другим, выравнивая их по правому краю, и начинают вычисления с разряда единиц. Такой порядок удобен, потому что переносы направляются в следующий разряд слева. По записи можно проследить каждый шаг и не потерять разрядное значение цифр.
Перенос разряда — десятки, которые получились при умножении в одном разряде и прибавляются к произведению в следующем. Например, 8 × 6 = 48: 8 единиц записывают в разряд единиц, а 4 десятка переносят к умножению десятков. Перенос нужен, потому что цифра разряда может дать не одну, а несколько единиц этого разряда. Его учитывают до записи следующей цифры ответа.
Многозначное число можно представить суммой разрядных слагаемых: например, 213 = 200 + 10 + 3. По распределительному свойству умножения произведение этой суммы на 3 равно сумме произведений: 200 × 3 + 10 × 3 + 3 × 3. Так становится понятно, почему можно умножать цифры числа по отдельности: каждое слагаемое сохраняет своё разрядное значение. Затем полученные части складывают, чтобы найти общее произведение.
В столбик начинают умножать с единиц, потому что именно в этом разряде первым может появиться перенос. Затем переходят к десяткам, сотням и другим разрядам слева направо по записи. Для каждого разряда умножают его цифру на однозначный множитель и, если есть, прибавляют перенос. Такой порядок позволяет сразу включать в вычисление все уже полученные десятки.
Произведение цифры разряда на множитель может оказаться двузначным. Например, 7 × 8 = 56: 6 относится к текущему разряду, а 5 десятков должны увеличить следующий разряд. Поэтому 6 записывают в разряд единиц, а 5 переносят к умножению десятков; если там уже есть цифра, перенос прибавляют к результату её умножения. Иначе десятки потеряются, и произведение окажется меньше правильного.
Ноль в записи числа тоже занимает определённый разряд: при умножении он даёт ноль, но его место нельзя сдвигать или пропускать. Если к нулевому разряду пришёл перенос, его прибавляют к нулю и записывают результат этого разряда. Например, при 3075 × 8 в разряде десятков стоит 7, а в разряде сотен — 0; переносы последовательно учитывают на каждом шаге. Если промежуточное произведение оканчивается нулём, этот ноль остаётся в соответствующем разряде ответа.
Столбик — это короткая запись разложения числа на разрядные слагаемые и последующего сложения результатов. Проверить вычисление можно обратным действием: разделить произведение на однозначный множитель и получить исходное число. Дополнительно оценивают порядок ответа: округляют множимое до удобного числа и прикидывают произведение. Проверка делением выявляет многие ошибки в вычислениях, а оценка помогает заметить неверное количество разрядов.
В таблице собраны ситуации, которые встречаются при умножении столбиком. Сначала определи, появляется ли перенос и есть ли в числе нули, затем выполняй действия справа налево. После вычисления проверь, что все цифры остались на своих разрядных местах.
| Случай | Пример | Как выполнять | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| При умножении разрядов нет переноса | 213 × 3 | Умножать цифры каждого разряда справа налево. | Каждый результат помещается в один разряд. |
| При умножении единиц возникает перенос в разряд десятков | 248 × 6 | Записать единицы произведения, десятки перенести. | Перенос прибавить при умножении десятков. |
| Перенос возникает в нескольких разрядах | 789 × 8 | Каждый перенос учитывать на следующем шаге. | Не забывать перенос после каждого произведения. |
| В записи множимого есть нули | 3075 × 8 | Умножить ноль и сохранить его разрядное место. | Не пропускать разряд при записи ответа. |
| После умножения старшего разряда появляется дополнительный разряд | 875 × 8 | Записать перенесённые десятки перед ответом. | Результат может иметь больше цифр, чем множимое. |
Вычислите 213 × 3. Здесь удобно проверить каждый разряд отдельно: ни одно произведение цифры на 3 не превышает 9. Поэтому перенос не потребуется. Решение:
Ответ: 639. Получилось то же число, что и при поразрядном умножении с последующим сложением частей. Это подтверждает, что цифры ответа соответствуют единицам, десяткам и сотням исходного числа.
Вычислите 248 × 6. Сначала умножаем единицы: результат 48 больше 9, значит, в разряде единиц останется 8, а 4 десятка перейдут к следующему действию. Решение:
Ответ: 1488. Каждый перенос добавлялся к результату следующего разряда, поэтому ни десятки от 48, ни сотни от 28 не потерялись.
Вычислите 3075 × 8 и проверьте результат оценкой. Ноль в числе 3075 занимает разряд сотен, поэтому важно последовательно пройти и этот разряд. Решение:
Ответ: 24600. Два нуля в произведении появились из вычислений в разрядах единиц и десятков. Оценка подтверждает, что результат имеет подходящий порядок и не потерял разряды.
Если начать умножение со старшего разряда, легко не учесть переносы, которые возникают справа. Так поступают, когда читают запись слева направо и переносят привычный порядок чтения на вычисление. Начинай с единиц и продвигайся к старшим разрядам. Для проверки проследи, что перенос каждого шага использован в следующем разряде.
Нельзя записывать всё двузначное произведение цифры в один разряд: например, при 8 × 6 = 48 в разряд единиц относится только 8. Ошибка возникает, если забыть, что цифра обозначает единицы именно своего разряда, а не всего числа. Запиши десятки как перенос и прибавь их к следующему произведению. Проверить себя можно оценкой: неверно записанное произведение часто оказывается слишком большим.
Если забыть прибавить перенос, ответ станет меньше правильного. Обычно его пропускают, потому что после записи очередной цифры переходят к следующему действию и теряют промежуточный результат. Перед умножением каждой новой цифры проверь, есть ли перенос, и прибавь его. Повторное вычисление этого разряда помогает заметить ошибку.
Пропуск нуля или сдвиг цифр меняет разрядный состав ответа. Такая ошибка появляется, когда ноль принимают за ненужный символ, хотя он обозначает пустой разряд, или не записывают результат в нужной позиции. Обрабатывай нулевой разряд по порядку и сохраняй его место в столбике. Проверь число цифр и примерную величину произведения.
Перед этой темой полезно знать таблицу умножения, разрядный состав чисел и распределительное свойство умножения относительно сложения. Таблица помогает быстро находить произведения цифр, а понимание разрядов объясняет перенос и положение каждой цифры ответа. Распределительное свойство показывает, почему многозначное число можно умножать по частям.
Умение умножать на однозначное число станет основой для письменного умножения многозначных чисел. Оно также помогает вычислять значения выражений и решать задачи, в которых одинаковое количество повторяется несколько раз. Чем увереннее выполняются действия по разрядам, тем проще проверять такие вычисления.
Почему при умножении столбиком начинают с единиц?
Если произведение единиц получилось двузначным, его десятки нужно прибавить к произведению десятков. Поэтому начинают справа: так перенос сразу учитывается в следующем разряде, и его не приходится угадывать заранее.
Что делать, если произведение цифры и множителя получилось двузначным?
Запиши в текущий разряд только цифру единиц этого произведения. Его десятки перенеси к результату умножения цифры следующего разряда.
Куда записывать перенос?
Перенос прибавляют к произведению цифры следующего разряда и множителя. Например, перенос из единиц учитывают при умножении десятков.
Как умножать число, в записи которого есть ноль?
Умножай ноль на множитель так же, как остальные цифры, и сохраняй его разрядное место. Если к нулю перешёл перенос, он становится частью результата этого разряда.
Как проверить результат умножения?
Можно разделить произведение на один из множителей и проверить, получится ли другой множитель. Ещё один способ — оценить порядок результата: округлить число и прикинуть, каким должно быть произведение.
Умножение на однозначное число
