Умножение на однозначное число

Определения и обозначения

Однозначное число — это число от 0 до 9. При умножении многозначного числа на такое число каждую его цифру можно умножить на один небольшой множитель и учесть перенос. Поэтому вычисление удобно выполнять поразрядно, не смешивая единицы, десятки и сотни.

Разрядное слагаемое — слагаемое, которое соответствует определённому разряду числа. Например, 572 = 500 + 70 + 2, где 500, 70 и 2 — разрядные слагаемые. Такое разложение показывает настоящее значение каждой цифры и помогает правильно выполнить умножение.

Распределительное свойство умножения относительно сложения означает: чтобы умножить число на сумму, можно умножить его на каждое слагаемое и сложить результаты. В общем виде a · (b + c) = a · b + a · c. Это правило превращает одно сложное вычисление в несколько простых.

Письменное умножение столбиком — способ записи, при котором разряды множимого обрабатывают последовательно, справа налево. Если при умножении появляются десятки, их переносят в следующий разряд. Такая запись помогает не потерять промежуточные результаты и сохранить порядок разрядов.

Как это устроено

Многозначное число раскладывают на разрядные слагаемые, потому что отдельные части умножать проще, чем всё число сразу. Например, в числе 324 цифры означают не просто 3, 2 и 4, а 300, 20 и 4. После разложения каждое слагаемое умножают на однозначный множитель, а результаты складывают.

Распределительное свойство объясняет, почему такой способ верен: произведение числа на сумму равно сумме произведений. Поэтому 324 · 3 = (300 + 20 + 4) · 3 = 300 · 3 + 20 · 3 + 4 · 3. Получаем 900 + 60 + 12 = 972, то есть части числа снова объединяются в одно произведение.

В столбик начинают умножать с единиц, потому что перенос из одного разряда направляется только в соседний, более высокий разряд. Сначала находят единицы результата, затем десятки, сотни и так далее. Движение справа налево позволяет сразу прибавить перенос к следующему промежуточному произведению.

Если произведение цифры и множителя получилось двузначным, в текущем разряде оставляют только его единицы, а десятки переносят дальше. Например, при вычислении 7 · 4 = 28 записывают 8 единиц, а 2 десятка прибавляют к результату умножения следующей цифры. Проверить ответ можно обратным действием или оценкой: 367 · 4 близко к 400 · 4, то есть к 1600, поэтому результат 1468 выглядит правдоподобно.

Умножение многозначного числа на однозначное

Пользуйся таблицей как алгоритмом: не переходи к следующему шагу, пока не учтён перенос из предыдущего разряда. Перед началом проверь, что цифры стоят в правильных столбцах. После вычисления оцени порядок результата или выполни обратное действие.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 243 · 2, разложив 243 на разрядные слагаемые

Нужно представить число 243 в виде суммы сотен, десятков и единиц. Затем каждую часть умножить на 2 и сложить полученные произведения. Такой способ показывает смысл вычисления, а не только его запись.

1. Разложим число: 243 = 200 + 40 + 3.
2. Умножим слагаемые: 200 · 2 = 400, 40 · 2 = 80, 3 · 2 = 6.
3. Сложим результаты: 400 + 80 + 6 = 486.

Ответ: 486. Все слагаемые сохранили свои разряды: сотни, десятки и единицы.

Задача 2. Вычислите 367 · 4 столбиком

Начинаем справа, чтобы переносы последовательно переходили в соседние разряды. На каждом шаге учитываем перенос, полученный ранее. Поэтому нельзя сразу умножать цифры отдельно и забывать о десятках.

1. Единицы: 7 · 4 = 28. Записываем 8, переносим 2.
2. Десятки: 6 · 4 + 2 = 26. Записываем 6, переносим 2.
3. Сотни: 3 · 4 + 2 = 14. Записываем 14 слева от уже полученных цифр.

Ответ: 1468. Проверка оценкой: 367 близко к 400, а 400 · 4 = 1600, поэтому ответ подходящего порядка.

Задача 3. Вычислите 5086 · 7 и проверьте результат

В числе 5086 есть ноль в разряде сотен, поэтому его нельзя пропускать. Умножаем цифры справа налево, каждый раз прибавляя перенос. После вычисления разделим произведение на 7 и проверим, вернулось ли число 5086.

1. Единицы: 6 · 7 = 42. Записываем 2, переносим 4.
2. Десятки: 8 · 7 + 4 = 60. Записываем 0, переносим 6.
3. Сотни: 0 · 7 + 6 = 6. Записываем 6.
4. Тысячи: 5 · 7 = 35. Записываем 35 перед полученными цифрами.
5. Получаем 5086 · 7 = 35 602. Проверяем: 35 602 : 7 = 5086.

Ответ: 35 602. Обратное действие подтвердило правильность умножения.

Типичные ошибки

Цифры умножают, но не учитывают их разрядное значение. Например, результат умножения десятков записывают как единицы, потому что смотрят только на цифру, а не на её место. Проверяй себя разложением числа на разрядные слагаемые.

Забывают прибавить перенесённые десятки к следующей цифре. Такая ошибка возникает, когда перенос записан над числом, но его не используют в следующем действии. После каждого шага отмечай: перенос прибавлен или его нет.

При переходе через разряд с нулём ноль пропускают и сдвигают результат. Ноль всё равно занимает своё место, даже если умножение этой цифры не даёт единиц. Сверяй количество разрядов и отдельно выполняй действие с нулевой цифрой.

Двузначное промежуточное произведение иногда целиком записывают в одном разряде. Тогда нарушается разрядная запись числа, ведь десятки должны перейти в следующий разряд. Отделяй единицы от десятков и проверяй результат обратным действием.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать таблицу умножения, состав числа и разрядную запись многозначных чисел. Эти знания позволяют быстро умножать отдельные цифры и понимать значение переносов.

Навык пригодится при умножении многозначных чисел друг на друга, вычислениях с величинами и решении текстовых задач. Он также помогает оценивать ответы и замечать ошибки в длинных вычислениях.

Что запомнить

• Многозначное число можно представить как сумму разрядных слагаемых.
• Число умножают на сумму разрядных слагаемых по распределительному свойству.
• При умножении столбиком начинают с разряда единиц.
• Десятки из промежуточного произведения переносят в следующий разряд.
• Цифры результата записывают с учётом их разрядов.
• Результат можно проверить обратным действием или оценкой.