§ 5. Прямая

Определения и обозначения

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается бесконечно в обе стороны. На листе можно показать только её часть, но мысленно продолжай её дальше за края рисунка. Это определение помогает отличать прямую от линий, ограниченных концами.

Прямая проходит через некоторые точки, а другие точки могут ей не принадлежать. Если отметка точки находится прямо на линии, говорят, что точка лежит на прямой; если в стороне — вне её. Так описывают расположение точек на чертеже.

Прямую можно назвать двумя точками, лежащими на ней: например, прямая AB. Также её обозначают одной маленькой латинской буквой, например a. Эти способы позволяют понять, о какой именно прямой говорится.

Две пересекающиеся прямые — прямые, имеющие одну общую точку. Эту точку называют точкой пересечения. Она принадлежит сразу обеим прямым, поэтому её можно использовать, описывая их встречу.

Как это устроено

Нарисованная на бумаге линия выглядит конечной, потому что лист и карандаш имеют ограниченный размер. Геометрическая прямая не заканчивается у края листа: рисунок показывает лишь удобный для изучения участок. Поэтому на чертеже обычно не ставят отметки концов прямой, как у отрезка.

Через любые две различные точки можно провести прямую, потому что линейку можно приложить к обеим точкам и провести по её краю линию. Такая прямая только одна: если бы через те же две точки проходили две разные прямые, они разошлись бы, хотя обе должны были бы проходить через одни и те же отметки. Это правило позволяет однозначно строить прямые по паре точек.

Чтобы провести прямую через заданные точки, приложи к ним край линейки. Проведи линию вдоль края так, чтобы она прошла через обе отметки. Затем продли её за точки в обе стороны: иначе получится ограниченная часть линии, а не изображение прямой.

Чтобы определить, пересекаются ли две прямые, посмотри, есть ли на чертеже место, где они встречаются. Если там отмечена общая точка, назови её точкой пересечения и подпиши заглавной буквой, например C. Если линии на рисунке не встречаются, пересечения на этом чертеже нет; одного сходства направлений для вывода недостаточно.

Проверяя, лежат ли точки на одной прямой, проследи, проходит ли одна и та же линия через все их отметки. Если проходит, точки лежат на одной прямой; если хотя бы одна находится в стороне, это не так. Пары точек можно обозначить заглавными буквами, а саму прямую — двумя точками на ней или маленькой латинской буквой.

Прямая и связанные с ней геометрические объекты

Сначала выясни, ограничен ли объект концами и в какую сторону он продолжается. Так проще выбрать между прямой, отрезком и лучом. Затем проверь обозначение: точки называют заглавными буквами, а прямую можно назвать маленькой латинской буквой.

Разбор задач

Задача: на рисунке отмечены точки A и B. Проведи через них прямую и обозначь её двумя способами. Нужно использовать обе точки и показать, что линия не заканчивается на отметках.

1. Приложи линейку так, чтобы её край проходил через A и B.
2. Проведи по линейке линию и продолжи её за обе точки.
3. Обозначь прямую по точкам как AB, а для второго способа выбери маленькую латинскую букву, например a.

Ответ: прямая AB, или прямая a. Эти обозначения относятся к одной и той же проведённой прямой.

Задача: даны прямые a и b, пересекающиеся в точке C. Запиши, какие прямые проходят через C и как называется их общая точка. Для ответа нужно проверить, что отметка C находится на обеих линиях.

1. Посмотри на прямую a: она проходит через отмеченную точку C.
2. Проверь прямую b: она тоже проходит через C, значит, точка общая для двух прямых.
3. Назови обе прямые и укажи, что C — точка их пересечения.

Ответ: через точку C проходят прямые a и b. Точка C называется точкой пересечения прямых a и b и принадлежит каждой из них.

Задача: точки A и B лежат на одной прямой, а точка C — вне неё. Сколько прямых можно провести через пары этих точек и как их обозначить? Пары здесь такие: AB, AC и BC.

1. Через различные точки A и B проходит ровно одна прямая; обозначь её AB.
2. Через точки A и C также проходит ровно одна прямая; обозначь её AC.
3. Через B и C проходит ещё одна прямая; обозначь её BC. Поскольку C вне прямой AB, эти три прямые различаются.

Ответ: можно провести три прямые: AB, AC и BC. Каждая пара различных точек задаёт ровно одну прямую.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что прямая заканчивается на краях нарисованного участка. Так думают, потому что на бумаге видны только границы самого рисунка. Проверь себя: у прямой нет отмеченных концов, а изображённую линию нужно мысленно продолжить в обе стороны.

Ошибка: называть прямой отрезок между двумя точками. Их путают, потому что оба объекта можно нарисовать линейкой через две отметки. Проверь, есть ли у линии концы: у отрезка они есть, а прямая продолжается за точки в обе стороны.

Ошибка: утверждать, что через две различные точки можно провести несколько прямых. Возможно, кажется, что линейку можно повернуть по-разному, но через обе отметки одновременно пройдёт только одно направление. Для проверки приложи край линейки к обеим точкам: второе положение, проходящее через них, даст ту же прямую.

Ошибка: путать обозначения прямой и точки. Точки называют заглавными латинскими буквами, а прямую можно обозначить маленькой латинской буквой. Проверь запись: A и B — названия точек, AB — прямая по этим точкам, a — возможное обозначение прямой.

Связь с другими темами

Для работы с прямыми нужно уметь отмечать точки и пользоваться линейкой. Ещё полезно различать сам геометрический объект и его условное изображение: линия на листе только показывает прямую, но не изображает её целиком. Эти навыки помогают точно читать чертежи.

Понятие прямой понадобится при изучении отрезков, лучей, пересекающихся и параллельных прямых. Оно также нужно, чтобы строить геометрические фигуры: их стороны и другие части располагаются на прямых или их участках. Поэтому умение проводить и обозначать прямые пригодится в следующих темах.

Что запомнить

• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Рисунок прямой показывает только её часть.
• Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямую можно обозначить двумя точками или маленькой латинской буквой.
• Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.
• Точка пересечения принадлежит обеим пересекающимся прямым.