4.2. Числовой луч

Определения и обозначения

Числовой луч — луч с началом, выбранной единицей измерения и направлением, которому соответствуют числа. Это обычный луч, на котором точки связывают с числами по их положению. Он помогает изображать числа и сравнивать их: можно увидеть, какая точка расположена дальше от начала.

Начало числового луча — точка, которой соответствует число 0. От неё начинают отсчёт, поэтому она служит общей точкой для определения координат остальных точек. Начало обозначают точкой на луче и не считают за единичный отрезок.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения на числовом луче. Его длину выбирают заранее, а затем откладывают одинаковые отрезки один за другим. Благодаря этому каждой следующей отметке можно сопоставить следующее число.

Координата точки — число, соответствующее точке на числовом луче; её записывают рядом с обозначением точки, например A(3). Такая запись сообщает положение точки без измерения линейкой. Координата показывает, сколько единичных отрезков отделяет точку от начала, если она стоит на целой отметке.

Как это устроено

Чтобы получить числовой луч из обычного, сначала выбирают на нём начало, затем направление движения и длину единичного отрезка. Эти решения нужны потому, что один и тот же луч сам по себе не сообщает, где считать ноль, куда увеличиваются числа и какое расстояние считать за единицу. После выбора начало получает координату 0, а отметки ставят через одинаковые промежутки в направлении луча. Так каждому месту на луче можно сопоставить число.

Началу соответствует ноль, потому что от него до него самого не нужно откладывать ни одного единичного отрезка. Первая отметка после начала находится на расстоянии одного такого отрезка, следующая — двух, затем трёх. Поэтому соседние целые числа на луче разделены одним единичным отрезком. Если длина этого отрезка равна 2 см, расстояние между отметками 4 и 5 всё равно составляет один единичный отрезок, то есть 2 см.

Чтобы отметить заданную координату, нужно посмотреть, сколько единичных отрезков она означает, и отложить их от начала в выбранном направлении. Например, для координаты 4 проводят мысленный счёт: от начала до первой отметки — один отрезок, до второй — два, до третьей — три, до четвёртой — четыре. Точка ставится на четвёртой отметке. Сантиметры при этом не нужно считать, если известны уже нанесённые единичные деления.

Координату отмеченной точки находят обратным способом: начинают от точки с координатой 0 и считают единичные отрезки до нужной отметки. Если точка расположена на пятой отметке, её координата равна 5. Считать нужно именно промежутки, а не сами нарисованные точки: начало — нулевая отметка, а первая отметка после него соответствует одному отрезку. Такой порядок помогает не ошибиться на единицу.

Если начало и направление остаются прежними, но единичный отрезок становится длиннее, отметки с числами раздвигаются. Поэтому одна и та же точка, находящаяся на расстоянии 6 см от начала, при единичном отрезке 1 см имеет координату 6, а при единичном отрезке 2 см — координату 3. Число единичных отрезков до точки изменилось, хотя сама точка не сдвинулась. Значит, координата зависит не только от положения точки, но и от выбранной единицы.

Элементы числового луча и их назначение

При работе с числовым лучом проверь сначала начало и направление, а затем выясни, какой отрезок принят за единицу. Начало показывает, откуда считать, единичный отрезок задаёт шаг, а направление — куда откладывать числа. Координата записывает результат такого отсчёта.

Разбор задач

Задача 1. На числовом луче отмечена точка A(4). Сколько единичных отрезков нужно отложить от начала луча, чтобы её получить? Координата 4 говорит о числе шагов от нулевой отметки. Поэтому длину в сантиметрах для ответа знать не требуется.

1. Находим начало луча: ему соответствует координата 0.
2. Считаем от начала в направлении возрастания чисел: один отрезок даёт отметку 1, два — отметку 2.
3. Продолжаем счёт до четырёх единичных отрезков и ставим там точку A.

Ответ: нужно отложить 4 единичных отрезка. Проверка: после четырёх шагов от нуля получаем отметку с координатой 4.

Задача 2. Единичный отрезок равен 2 см. От начала луча отложили 10 см. Какова координата полученной точки? Здесь дано физическое расстояние и длина одного шага, поэтому сначала выясним, сколько таких шагов помещается в 10 см. Именно это число будет координатой.

1. Записываем длину пути до точки: 10 см.
2. Делим её на длину единичного отрезка: 10 : 2 = 5.
3. Проверяем: пять отрезков по 2 см дают 10 см.

Ответ: координата точки равна 5. Не следует записывать координату 10 только потому, что расстояние до точки измерено как 10 см.

Задача 3. На числовом луче точка A имеет координату 3, а точка B расположена на 4 единичных отрезка правее A. Найти координату B. Слово «правее» здесь указывает движение в направлении возрастания чисел. Значит, нужно продолжить счёт от известной отметки 3, а не начинать заново от нуля.

1. Запоминаем исходную координату A: это 3.
2. От A идём на четыре единичных отрезка вправо: получаем отметки 4, 5, 6 и 7.
3. Складываем исходную координату и число шагов: 3 + 4 = 7.

Ответ: координата B равна 7. Проверка: точка с координатой 7 действительно находится на четыре единичных отрезка правее точки с координатой 3.

Типичные ошибки

Ошибка — считать координатой расстояние в сантиметрах. Её допускают, потому что координату часто находят с помощью линейки, но координата показывает число единичных отрезков, а не обязательно длину в сантиметрах. Проверь себя: раздели измеренное расстояние на длину одного единичного отрезка, если луч задан в сантиметрах.

Ошибка — откладывать координату как такое же число сантиметров, не учитывая единичный отрезок. Например, координата 4 при шаге 2 см означает расстояние 8 см, а не 4 см. Перед построением найди длину одного шага и умножь её на координату; результат должен совпасть с расстоянием до отметки.

Ошибка — начинать отсчёт от любой заметной точки или считать начало первым единичным отрезком. Так можно получить число на единицу меньше или больше нужного. Начало имеет координату 0, а первый единичный отрезок заканчивается на отметке 1; проверь, что нулевую точку ты не счёл шагом.

Ошибка — отмечать числа против выбранного направления возрастания. Такое случается, если считать «вправо» обязательным направлением, хотя направление задаётся для конкретного луча. Сверься со стрелкой или условием: именно в выбранную сторону от начала идут 1, 2, 3, а в обратную сторону числа не увеличиваются.

Связь с другими темами

Для работы с числовым лучом нужно знать, что такое точка и луч, а также уметь измерять отрезки. Эти знания помогают выбрать начало, понять направление и установить длину единичного отрезка. Если измерить отрезок неточно, отметки на луче тоже могут оказаться расположены неверно.

Числовой луч пригодится, когда нужно сравнивать и изображать числа: точки с большими координатами расположены дальше от начала в направлении луча. Он также помогает перейти к изучению координат и действий с числами. На нём удобно показывать, как меняется положение точки при увеличении или уменьшении числа.

Что запомнить

• Числовой луч начинается в точке с координатой 0.
• На числовом луче задают направление и единичный отрезок.
• Координата точки показывает, сколько единичных отрезков отложено от начала луча.
• Чтобы отметить координату, откладывают соответствующее число единичных отрезков.
• Чем дальше точка от начала в направлении луча, тем больше её координата.
• Координаты зависят от выбранной длины единичного отрезка.