4.1. Что такое луч?

Определения и обозначения

Луч — часть прямой, состоящая из точки, выбранной на ней, и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от этой точки. Проще говоря, луч начинается в одном месте и бесконечно продолжается в одном направлении. Это определение помогает отличить луч от других частей прямой.

Начало луча — точка, от которой луч продолжается в одном направлении. Эта точка обязательно принадлежит лучу, то есть её нельзя исключать из изображения или обозначения. По началу можно понять, откуда движется луч.

Обозначение луча состоит из двух заглавных латинских букв. Первая буква называет начало луча, а вторая — любую другую точку, лежащую на луче. Поэтому порядок букв важен: луч AB начинается в A, а луч BA начинается в B.

Противоположные лучи — два луча одной прямой с общим началом, направленные в разные стороны. Например, лучи OA и OB противоположны, если точки A и B лежат по разные стороны от O на одной прямой. Вместе такие лучи образуют всю прямую.

Как это устроено

Представим прямую и отметим на ней точку O. Эта точка разделит прямую на две части: одну слева от O, другую справа. Если к каждой части присоединить саму точку O, получатся два луча, потому что каждая часть идёт от O только в одном направлении.

У луча есть начало, потому что направление отсчитывают от выбранной точки. Конца нет: после любой отмеченной точки на прямой можно найти ещё точки дальше в том же направлении. Поэтому вторая буква обозначения не завершает луч, а только помогает увидеть, куда он направлен.

Чтобы назвать луч, сначала находят его начальную точку, а затем выбирают любую другую точку на этом луче. Первую точку записывают первой буквой, вторую — второй. Если поменять порядок букв, изменится начало, а иногда и сам луч, поэтому запись AB и BA нельзя считать одинаковой.

Из одной точки O на прямой выходят два направления. Один луч может идти от O к A, а другой — от O к B, если A и B расположены по разные стороны от O. Они противоположны именно потому, что имеют общее начало, лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.

Прямая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны. Луч имеет одно начало и продолжается только в одну сторону. Отрезок ограничен двумя концами, поэтому он не продолжается бесконечно; эти различия помогают правильно распознавать фигуры на чертеже.

Сравнение прямой, луча и отрезка

Сначала проверьте наличие концов: это самый удобный способ различить фигуры. Затем обратите внимание на направление: у прямой оно идёт в обе стороны, у луча — в одну, а отрезок ограничен с двух сторон. Обозначение луча читайте слева направо по смыслу: первая буква всегда называет начало.

Разбор задач

Задача 1

На прямой отмечены точки A и B. Требуется назвать луч, который начинается в A и проходит через B. Здесь уже известно начало, поэтому первой должна быть буква A. Точка B показывает направление луча.

1. Находим точку начала: это A.
2. Выбираем точку, через которую проходит луч: это B.
3. Записываем сначала начало, затем вторую точку: AB.

Ответ: луч AB. Он начинается в A, проходит через B и продолжается дальше в том же направлении.

Задача 2

Нужно начертить луч MN и отметить на нём точки P и Q, отличные от M. В обозначении луча первая буква сразу сообщает его начало. Буква N указывает направление, а точки P и Q должны лежать на продолжении луча.

1. Отмечаем точку M и проводим из неё линию в одну сторону.
2. На этой линии ставим точку N, чтобы назвать направление луча.
3. Отмечаем на том же луче точки P и Q, не совпадающие с M.
4. Проверяем запись: первая буква обозначения MN — M.

Ответ: началом луча MN является точка M. Точки N, P и Q лежат на луче, но ни одна из них не является его концом.

Задача 3

Через точку O проходит прямая, а точки A и B находятся по разные стороны от O. Требуется назвать два луча и объяснить, почему они противоположные. Общее начало у обоих лучей — O, а направления задают точки A и B.

1. Называем луч, идущий от O через A: OA.
2. Называем луч, идущий от O через B: OB.
3. Сравниваем их: начало одинаковое, точки A и B находятся по разные стороны от O.
4. Делаем вывод, что лучи лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.

Ответ: противоположные лучи — OA и OB. Их общее начало — точка O, а вместе они составляют прямую.

Типичные ошибки

Иногда считают, что луч заканчивается в точке, названной второй буквой. Это происходит потому, что на рисунке часто отмечают только две точки. Проверьте себя: если после второй точки можно продолжить направление, перед вами луч, а не отрезок.

Другая ошибка — менять порядок букв, считая записи AB и BA одинаковыми. При таком чтении забывают, что первая буква показывает начало. Чтобы проверить запись, мысленно спросите: из какой точки выходит луч?

Некоторые не включают начальную точку в луч. Причина обычно в том, что луч воспринимают как линию, начинающуюся после этой точки. По определению начало принадлежит лучу, поэтому точку нужно отметить на нём.

Нельзя называть противоположными любые лучи с общим началом. Они должны лежать на одной прямой и идти в разные стороны. Для проверки найдите общее начало и убедитесь, что один луч является продолжением другого через эту точку.

Связь с другими темами

До изучения луча нужно знать, что такое точка и прямая, а также уметь отмечать точки на чертеже. Без этого трудно увидеть, где находится начало и в каком направлении идёт луч. Навык чтения обозначений помогает разбирать геометрические записи.

Понятие луча пригодится при изучении угла. Стороны угла — это два луча с общим началом, которое называют вершиной угла. Поэтому умение находить начало и направление луча нужно для правильного изображения и обозначения углов.

Что запомнить

• Луч — часть прямой с началом, продолжающаяся в одном направлении.
• Начало луча принадлежит лучу.
• У луча есть начало, но нет конца.
• В обозначении луча первая буква указывает его начало.
• Два противоположных луча имеют общее начало и лежат на одной прямой.
• Луч, прямая и отрезок различаются наличием и количеством концов.