"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Прямая — линия без начала и конца: на листе мы изображаем только её часть, а сама она продолжается в обе стороны. Чтобы построить прямую, используют ровный край линейки. Через одну точку можно провести много прямых, а через две различные точки — только одну. Это правило помогает точно выполнять чертежи и разбираться, как расположены точки и линии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны. На листе её изображают лишь короткой линией, потому что рисунок не может вместить бесконечно длинную линию. Представление о прямой нужно, чтобы описывать геометрические фигуры и расположение точек. На чертеже прямую часто обозначают маленькой строчной буквой, например a.
Точка — геометрический объект, которым отмечают точное положение на плоскости. На бумаге точку обычно показывают маленьким следом карандаша и подписывают заглавной буквой: A, B или C. Так можно точно указать, через какие места должна проходить линия. Сам след карандаша имеет размер, но в геометрии точку считают не имеющей размера.
Линейка — чертёжный инструмент с прямым краем, вдоль которого проводят прямую. Она помогает провести ровную линию и совместить её с заданными точками. Для построения используют именно прямой край, а не деления на линейке. Деления нужны, когда требуется измерить длину.
Построение прямой — проведение прямой по линейке через заданные точки. Сначала линейку располагают так, чтобы её ровный край совпал с нужной точкой или точками, а затем проводят карандашом линию. Это действие позволяет получить точный чертёж. Если задано две различные точки, они определяют положение прямой.
Ровный край линейки служит направляющей: карандаш движется вдоль него и не отклоняется в сторону. Без такой опоры рука может дрогнуть, и линия выйдет кривой. Положи линейку на лист, придерживай её рукой и веди карандаш по краю, не нажимая слишком сильно. Если сдвинуть линейку в процессе, части линии могут оказаться на разных направлениях.
Чтобы провести прямую через одну заданную точку, приложи к ней прямой край линейки. Выбери любое положение инструмента, при котором точка лежит у края: вокруг неё можно повернуть линейку по-разному. Проведи карандашом линию вдоль края, продолжив её по обе стороны от точки. Тогда точка окажется на изображённой части прямой, а не возле неё.
Для прямой через две заданные точки сначала расположи линейку так, чтобы её край проходил через обе точки одновременно. Убедись, что ни одна из них не сместилась и обе действительно совпадают с краем. Затем проведи карандашом линию, не двигая линейку. Если край не касается обеих точек, такая линия не будет прямой через них.
Через любые две различные точки можно провести только одну прямую. Если представить линейку, совмещённую с этими точками, становится видно: её положение уже определено, и при повороте край перестанет проходить через обе точки. Поэтому нельзя провести другую прямую через ту же пару точек. Это правило помогает проверять построения и решать, лежит ли точка на заданной прямой.
Прямая в геометрии продолжается в обе стороны без конца, а на рисунке помещается только её часть. Поэтому линию чертят за пределами заданных точек, если позволяет место на листе. Концы нарисованного штриха — это не начало и конец прямой, а лишь границы её изображения. Представляй, что за ними линия продолжается дальше.
| Условие | Как расположить линейку | Что провести | Что важно проверить |
|---|---|---|---|
| Задана одна точка | Прямой край должен проходить через точку; положение можно выбрать любое. | Линию по краю линейки в обе стороны от точки. | Точка лежит на линии, линейка не сдвинулась. |
| Заданы две различные точки | Совместить прямой край с обеими точками. | Линию по краю линейки за обе точки. | Обе точки лежат на одной линии, инструмент оставался неподвижен. |
| Заданы две совпадающие точки | Совместить край с этой точкой; направление выбрать самостоятельно. | Любую прямую через общую точку. | Точки совпадают, поэтому условие задаёт только одну точку, а не единственную прямую. |
Найди в таблице условие своей задачи, затем выполняй указания по порядку: расположи линейку и проведи линию. В последнем столбце собраны проверки, которые помогают заметить ошибку до того, как закончишь чертёж. Если точки совпадают, не пытайся искать особое направление: через одну точку подходят разные прямые.
Задача 1. На листе отмечена точка A. Проведите через неё прямую. Нужно убедиться, что построенная линия действительно проходит через A; поскольку задана только одна точка, её направление заранее не определено. Поэтому можно выбрать удобное положение линейки. При построении важно сохранить его до конца.
Ответ: проведена прямая через точку A. Её направление можно было выбрать по-разному, потому что одна точка не задаёт единственную прямую.
Задача 2. Отмечены две различные точки A и B. Проведите через них прямую. Здесь положение линии определяется сразу двумя точками, поэтому недостаточно просто провести ровную линию рядом с ними. Край линейки должен проходить через каждую точку.
Ответ: прямая AB проходит через A и B. Для этой пары различных точек можно построить только одну такую прямую.
Задача 3. На рисунке отмечены точки A, B и C, причём C не лежит на прямой AB. Проведите через A и B прямую и определите, проходит ли она через C. Сначала нужно построить прямую только по точкам A и B: положение C не должно менять её направление. Иначе можно получить линию, которая уже не проходит через обе заданные точки.
Ответ: прямая проходит через A и B, но не проходит через C.
Иногда проводят линию только от одной точки до другой и называют её прямой. Так происходит, если забыть, что короткий штрих — только часть бесконечной линии. Проверь себя: изображение прямой должно выходить за точки в обе стороны, насколько позволяет лист.
Если сдвинуть линейку во время черчения, линия может стать неровной или промахнуться мимо точки. Такое случается, когда инструмент придерживают недостаточно крепко или ведут карандаш слишком резко. Проверь, что линейка неподвижна, а край совпадает с заданными точками до начала черчения.
Некоторые пытаются провести несколько разных прямых через две одни и те же различные точки. Обычно путают этот случай с построением через одну точку, где направление можно выбирать. Проверь себя: если точек две и они не совпадают, положение прямой уже определено; повторное построение должно совпасть с первым.
Совпадающие точки иногда принимают за две точки, которые задают одну прямую. Но обе метки занимают одно место, поэтому фактически задана только одна точка. Чтобы проверить рассуждение, поверни линейку вокруг общей точки: через неё по-прежнему проходит много прямых.
Перед построением прямой нужно уметь отмечать точки и пользоваться линейкой. Точку важно поставить в нужном месте, а линейку — расположить так, чтобы её ровный край совпал с заданными точками. Эти простые действия помогают выполнять чертёж аккуратно и проверять его по условию. Если точка поставлена неверно, прямая тоже окажется не там.
Построение прямой пригодится при изучении луча и отрезка — других частей прямой. Оно также поможет разбираться во взаимном расположении точек и прямых: например, проверять, лежит ли точка на прямой. Поэтому навык построения используют не только в черчении, но и при решении геометрических задач. Умение сравнивать точки с прямой станет основой для новых тем.
Почему прямую проводят именно по линейке?
У линейки есть ровный прямой край, который помогает провести прямую линию. Если вести карандаш вдоль него, линия получится ровной. Во время черчения линейку нужно удерживать неподвижно.
Как провести прямую через две заданные точки?
Приложи линейку так, чтобы её прямой край проходил через обе точки. Убедись, что обе точки касаются края, и, не сдвигая линейку, проведи линию. На рисунке продолжи её за обе точки.
Сколько прямых можно провести через одну точку?
Через одну точку можно провести множество прямых. Для этого достаточно каждый раз поворачивать линейку вокруг точки. Одно условие — чтобы её прямой край проходил через эту точку.
Почему через две различные точки проходит только одна прямая?
Две различные точки задают одно определённое направление и положение прямой. Если провести через них прямую, изменить её положение так, чтобы она по-прежнему проходила через обе точки, не получится. Поэтому такая прямая единственная.
Если на листе линия короткая, почему её называют прямой?
Лист и карандаш позволяют показать только часть прямой. По правилу рисунка предполагается, что эта линия продолжается за его пределы в обе стороны. Поэтому короткое изображение обозначает бесконечную прямую.
5.1. Построение прямой
