"Математика", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Числовая прямая помогает изображать числа точками и сравнивать их по расположению. Чтобы получить её из обычной прямой, выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Справа от нуля находятся положительные числа, слева — отрицательные. Каждой точке соответствует координата, а расстояние между точками можно находить по разности их координат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовая прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Эти три элемента задают, где находится ноль, каков масштаб и в какую сторону числа увеличиваются. Без них обычная прямая не показывает числовое положение точек.
Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0. От неё откладывают все остальные числа: положительные вправо, а отрицательные влево. Эта точка нужна как общий ориентир для определения координат.
Единичный отрезок — отрезок, задающий расстояние между соседними целыми числами. Его длина определяет масштаб: столько же откладывают от 0 до 1, от 1 до 2 и в обратную сторону. Благодаря этому можно строить не только целые, но и дробные числа.
Координата точки — число, соответствующее положению точки на числовой прямой. Координату записывают рядом с точкой, например A(−3) или B(2). По координате можно построить точку, сравнить её с другими и найти расстояние между точками.
Сначала на обычной прямой выбирают точку O и объявляют её началом отсчёта, то есть числом 0. Затем выбирают единичный отрезок, например расстояние от O до точки с координатой 1. Наконец, стрелкой задают положительное направление, обычно вправо. После этого одинаковые шаги вдоль прямой получают числовой смысл.
Числа больше нуля откладывают по направлению стрелки, потому что движение в эту сторону объявлено увеличением чисел. Числа меньше нуля откладывают в противоположную сторону, начиная от нуля. Поэтому ноль разделяет положительные и отрицательные числа: положительные находятся справа, отрицательные — слева.
Целые числа строят последовательным откладыванием единичных отрезков. Чтобы отметить дробь, единичный отрезок делят на равные части: знаменатель показывает, на сколько частей нужно разделить отрезок. Например, для 3/4 его делят на четыре части и отсчитывают три части от нуля вправо, а для −3/4 — влево.
При движении вправо координаты увеличиваются, потому что каждый следующий шаг прибавляет положительную единицу или её долю. Значит, более правая точка соответствует большему числу, а более левая — меньшему. Так геометрическое расположение точек помогает сравнивать числа без непосредственного вычисления.
Чтобы определить координату точки, нужно узнать её расстояние от нуля в единичных долях и учесть направление. Если точка справа от нуля, координата положительна, если слева — отрицательна, а у самого начала отсчёта она равна 0. Для построения точки по заданной координате отсчитывают нужное число шагов от нуля в соответствующую сторону.
Таблица помогает быстро вспомнить назначение каждого элемента и правило его применения. Сначала найдите нужное понятие в первом столбце, затем прочитайте смысл и последовательность действий. Особенно полезен последний столбец при построении точек и решении задач.
| Элемент или правило | Что означает | Как применить |
|---|---|---|
| Начало отсчёта | Точка с координатой 0 | От неё откладывать числа вправо или влево |
| Единичный отрезок | Расстояние, принятое за 1 | Повторять его для построения целых чисел |
| Положительное направление | Направление, в котором числа увеличиваются | Откладывать положительные числа по стрелке |
| Положение положительных чисел | Они находятся справа от нуля | Идти от 0 вправо на нужное число единиц |
| Положение отрицательных чисел | Они находятся слева от нуля | Идти от 0 влево на число единиц, указанных модулем |
| Координата точки | Число, задающее положение точки | Считать расстояние от 0 и определить сторону |
| Сравнение чисел по расположению точек | Правая точка соответствует большему числу | Расположить точки слева направо |
| Расстояние между точками | Длина отрезка между их координатами | Вычесть меньшую координату из большей |
Нужно определить положение каждой точки относительно начала отсчёта и сравнить координаты A и B. Координаты уже заданы, поэтому достаточно использовать их знак и расположение на прямой. Точка с координатой 0 совпадает с началом отсчёта.
Ответ: A — слева, B — справа, C — в начале отсчёта; −3 < 2.
Здесь нужно отметить десятичные координаты и выяснить, какая точка лежит между M и P. Единичный отрезок делят на десять равных частей, потому что в числах одна цифра стоит после запятой. Затем точки располагают по возрастанию координат.
Ответ: между M и P расположена точка P? Нет, сами точки M и P являются концами промежутка; точка N находится левее обеих. Следовательно, ни одна из данных точек не расположена строго между M и P.
Требуется найти длину AB и координату середины отрезка. На прямой от −4 до 3 проходит семь единичных промежутков, поэтому расстояние можно найти вычитанием меньшей координаты из большей. Середина должна быть на одинаковом расстоянии от обоих концов.
Ответ: AB = 7, координата середины C равна −0,5.
Путают числовую прямую с обычным отрезком. На отрезке могут отсутствовать начало, масштаб или направление, поэтому он не задаёт координаты. Проверьте, отмечены ли 0, единичный отрезок и стрелка положительного направления.
Неверно располагают отрицательные числа. Иногда считают, что большее по модулю число должно быть правее. Модуль показывает удаление от нуля, а для отрицательных чисел движение идёт влево, поэтому −7 левее −2.
Смешивают координату и расстояние до нуля. Координата −4 содержит знак направления, а расстояние от этой точки до нуля равно 4. Для проверки мысленно уберите знак: расстояние не бывает отрицательным.
Неправильно делят единичный отрезок для дроби. Числитель показывает, сколько частей отсчитать, а знаменатель — на сколько равных частей разделить единицу. После деления пересчитайте части и только затем поставьте точку.
До изучения числовой прямой нужны знания о положительных и отрицательных числах, дробях, сравнении чисел и измерении отрезков. Она становится основой координат, уравнений и неравенств, потому что позволяет изображать неизвестные и проверять порядок чисел. Позже с её помощью показывают числовые промежутки и строят графики функций.
Можно ли выбрать другой единичный отрезок и получить другую числовую прямую?
Да, единичный отрезок можно выбрать другой длины. Тогда изменится масштаб: расстояние между соседними целыми числами станет другим, но порядок чисел и направление их возрастания сохранятся.
Почему отрицательное число с большим модулем расположено левее?
Модуль показывает расстояние числа от нуля, а отрицательные числа откладывают влево. Поэтому −5 находится на пять единиц левее нуля, а −2 — на две, и точка −5 оказывается левее.
Чем координата точки отличается от расстояния до нуля?
Координата показывает положение точки с учётом направления и может быть отрицательной. Расстояние до нуля не учитывает направление, поэтому всегда является неотрицательным числом.
Как отметить на прямой неправильную или десятичную дробь?
Неправильную дробь сначала представляют как целое число и дробную часть, например 7/3 = 2⅓. Десятичную дробь отмечают, разделив единичный отрезок на 10, 100 или другое число равных частей в соответствии с разрядом.
Как по числовой прямой быстро сравнить два числа?
Нужно найти или мысленно представить точки, соответствующие этим числам. Число, чья точка расположена правее, больше; число левее — меньше.
Числовая прямая
