"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Письменное умножение помогает находить произведение многозначных чисел, не пытаясь выполнить все вычисления в уме. Для этого второй множитель раскладывают на разрядные части: единицы, десятки, сотни и так далее. Первый множитель умножают на каждую часть отдельно, а полученные частичные произведения складывают. Главное — учитывать разряд каждой цифры, правильно переносить десятки и проверять, разумен ли ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, записанное несколькими цифрами. Значение каждой цифры зависит от её места: в числе 324 цифра 3 означает 300, цифра 2 — 20, а цифра 4 — 4. Такое разложение помогает понять, какие части числа умножаются друг на друга. Без учёта разрядов легко перепутать, например, десятки с единицами.
Множитель — число, на которое умножают, или число, которым умножают. В записи 4 · 6 оба числа — множители: можно сказать и «4 умножить на 6», и «6 умножить на 4». Это название нужно, чтобы различать числа, участвующие в действии. При письменных вычислениях обычно один множитель записывают сверху, а другой — снизу.
Произведение — результат умножения двух или нескольких чисел. Например, в равенстве 8 · 3 = 24 произведение равно 24. Тем же словом называют и выражение 8 · 3 до того, как его значение найдено. Понимание этого термина помогает точно говорить о том, что требуется вычислить.
Письменное умножение — способ вычисления, при котором первый множитель умножают отдельно на разрядные части второго, а результаты складывают. Например, второй множитель можно разложить на десятки и единицы. Так большое вычисление превращается в несколько более простых действий. Этот способ удобен, когда умножать числа в уме трудно.
Чтобы увидеть смысл вычислений, представим многозначное число суммой разрядных слагаемых: 37 = 30 + 7. Тогда 248 · 37 = 248 · (30 + 7). По распределительному свойству умножения получаем 248 · 30 + 248 · 7. Значит, письменный алгоритм не вводит новое действие, а по очереди вычисляет части уже знакомого выражения.
Множители записывают один под другим так, чтобы их последние цифры стояли в одном столбце: единицы под единицами, десятки под десятками. Сначала верхнее число умножают на цифру единиц нижнего числа, двигаясь справа налево. Если при умножении получается число больше 9, единицы результата записывают в текущий разряд, а десятки переносят к следующему действию. Поэтому перенос нельзя терять: он является частью общего результата.
Затем верхнее число умножают на цифру десятков нижнего множителя. Но эта цифра обозначает не единицы, а десятки, поэтому полученное значение в десять раз больше обычного произведения на цифру. Отсюда появляется сдвиг записи на один разряд влево: фактически в конце частичного произведения стоит ноль. Для сотен сдвиг был бы на два разряда, потому что сотня в сто раз больше единицы.
Каждое действие со следующей цифрой нижнего множителя даёт отдельное частичное произведение. Записывая его, соотносят разряды, а не просто ставят результат под предыдущей строкой: единицы частичного произведения должны попасть в разряд, соответствующий цифре, на которую умножали. После этого все частичные произведения складывают столбиком. Такая запись позволяет складывать единицы с единицами, десятки с десятками и не смешивать разряды.
Ноль в одном из множителей не отменяет разрядов вокруг него. Если цифра нижнего множителя равна нулю, соответствующее произведение тоже равно нулю, и эту строку обычно можно пропустить, сохранив правильное место для следующих результатов. Нули в верхнем множителе также учитывают при умножении по разрядам. Наконец, округление даёт примерную оценку: если 406 · 205 заменить на 400 · 200, получится около 80 000, и точный ответ должен быть близок к этой величине.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Запись множителей | Расположить числа одно под другим. | Одноимённые разряды должны стоять друг под другом. |
| Умножение на единицы второго множителя | Умножить верхнее число на цифру единиц справа налево. | Переносить десятки в следующий разряд. |
| Умножение на следующие разряды | Отдельно умножить на цифры десятков, сотен и других разрядов. | Учитывать разрядное значение каждой цифры. |
| Запись промежуточных результатов | Записать частичные произведения с нужным сдвигом. | Для десятков сдвиг на один разряд, для сотен — на два. |
| Сложение результатов и проверка | Сложить частичные произведения и оценить ответ. | Складывать одноимённые разряды и сравнить ответ с примерной оценкой. |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу только после того, как проверил запись предыдущего. Особенно внимательно следи за сдвигом частичных произведений и переносами. В конце оцени ответ округлением множителей.
Здесь второй множитель — однозначное число, поэтому достаточно умножить на него каждый разряд первого числа справа налево. При вычислениях переносим десятки к следующему разряду. Так сохраняется значение всех частей числа 324.
Проверим результат приблизительно: 324 близко к 300, а 300 · 6 = 1800. Точный ответ 1944 немного больше оценки, что правдоподобно, поскольку 324 больше 300. Ответ: 1944.
Разложим второй множитель: 37 = 30 + 7. Значит, сначала найдём произведение 248 на 7, затем — на 30 и сложим результаты. При умножении на десятки второй результат нужно сдвинуть на один разряд влево.
Можно проверить смысл разложения: 248 · 37 = 248 · 7 + 248 · 30. Оценка 250 · 40 = 10 000 близка к найденному числу, хотя немного больше него. Ответ: 9176.
В числе 205 есть ноль в разряде десятков, а в числе 406 — ноль в разряде десятков. Разложение 205 = 200 + 5 показывает, что достаточно найти два ненулевых частичных произведения. Нельзя забывать, что умножение на 200 означает сдвиг на два разряда.
Оценим произведение округлением: 406 примерно равно 400, а 205 — примерно 200, поэтому ожидаемый результат около 80 000. Число 83 230 подходит к этой оценке и не выглядит слишком большим или малым. Ответ: 83 230.
Если частичное произведение на десятки записать без сдвига, десятки фактически примут за единицы. Так бывает, когда ученик видит цифру 3 и забывает, что в числе 37 она означает 30. Проверь себя: замени второй множитель суммой разрядных частей и сравни с записью. Например, произведение на 30 должно быть в десять раз больше произведения на 3.
Неперенесённые десятки меняют цифры следующих разрядов. Ошибку допускают, если записывают только последнюю цифру промежуточного произведения и забывают о десятках. После каждого действия проверь, есть ли перенос и прибавлен ли он при вычислении следующего разряда. Полезно отмечать перенос над соответствующим столбцом.
Ноль в множителе может привести к пропуску разряда при записи следующих частичных произведений. Например, при умножении на сотни нельзя записать результат так, будто умножали на десятки, даже если строку для нулевого разряда не писали. Проверь позицию по разрядному разложению второго множителя. Сдвиг определяют местом цифры, а не количеством записанных строк.
Ошибки при сложении частичных произведений возникают, когда цифры разных разрядов оказываются в одном столбце. Причина часто в неаккуратной записи или неверном сдвиге строки. Перед сложением проверь, стоят ли единицы под единицами, а десятки под десятками. После сложения оцени порядок ответа округлением: это помогает заметить явную ошибку в разрядах.
Для письменного умножения нужны знание таблицы умножения и понимание разрядного состава чисел: без них трудно выполнять действия по цифрам и определять место результата. Также пригодится письменное сложение, потому что частичные произведения складывают столбиком. Если сложение выполнено неверно, правильные отдельные умножения не дадут верного ответа.
Умение умножать многозначные числа используют дальше при вычислениях с десятичными дробями и решении текстовых задач. В задачах умножение помогает находить общую стоимость одинаковых покупок, расстояние или число предметов в нескольких группах. Поэтому важно не только получить ответ, но и понимать, почему разряды записаны именно так.
Почему умножение начинают с единиц?
Единицы стоят в разряде с наименьшим значением, поэтому их удобно обрабатывать первыми. При умножении цифр возникающие десятки переносят в следующий разряд, где их можно учесть.
Зачем сдвигать запись второго частичного произведения?
Цифра десятков означает не отдельные единицы, а десятки, поэтому соответствующее частичное произведение записывают со сдвигом на один разряд влево. Для сотен сдвиг составляет два разряда.
Как записывать промежуточный результат, если в множителе есть ноль?
Сохраняйте место разряда нуля: следующие частичные произведения должны оказаться под правильными разрядами. Если ноль стоит между значащими цифрами, нельзя из-за него уменьшать необходимый сдвиг.
Нужно ли записывать частичное произведение, если цифра множителя равна нулю?
Нет, умножение на ноль даёт ноль, поэтому такое частичное произведение можно не записывать. Но при вычислении и сложении остальных результатов нужно сохранить разрядное положение цифр.
Как быстро проверить, что ответ не слишком велик и не слишком мал?
Округлите множители до удобных чисел и умножьте их для получения примерной оценки. Затем сравните оценку с точным ответом: они должны быть близки по величине.
Умножение многозначных чисел
