"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Умножение на двузначное число позволяет быстро находить произведение, не складывая одинаковые слагаемые много раз. Для этого двузначный множитель раскладывают на десятки и единицы, умножают на каждую часть отдельно, а результаты складывают. Эти промежуточные результаты называют неполными произведениями. При записи столбиком особенно важно учитывать разряд десятков: второе неполное произведение сдвигают на один разряд влево.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — число, записанное двумя цифрами; при умножении его можно представить как сумму десятков и единиц. Например, 34 содержит 3 десятка и 4 единицы. Такое представление помогает заменить один сложный шаг несколькими более простыми.
Разложение двузначного числа на разрядные слагаемые — представление числа, например 34, в виде 30 + 4. Первое слагаемое показывает число десятков, второе — число единиц. Разложение нужно, чтобы видеть, на какие части можно умножать отдельно.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на одно из разрядных слагаемых второго множителя. Например, при вычислении 23 · 14 числа 23 · 10 и 23 · 4 будут неполными произведениями. Они нужны как промежуточные результаты, из которых складывается ответ.
Письменное умножение на двузначное число — способ найти произведение, вычислив и сложив неполные произведения. При записи столбиком результаты располагают так, чтобы совпадали их разряды. Этот способ удобен для больших чисел и помогает не потерять десятки или единицы.
Двузначный множитель можно представить суммой десятков и единиц: например, 27 = 20 + 7. Тогда вместо умножения на 27 выполняют два умножения — на 20 и на 7. Такая замена полезна, потому что умножать многозначное число на однозначное обычно проще, чем сразу на двузначное.
Почему результаты этих умножений можно сложить? Это следует из распределительного свойства умножения относительно сложения: a · (b + c) = a · b + a · c. Поэтому 46 · (20 + 7) равно 46 · 20 + 46 · 7. Число не меняется, меняется только удобный порядок вычислений.
При записи столбиком сначала умножают первый множитель на цифру единиц второго множителя. Получают первое неполное произведение и записывают его под чертой. Если при умножении отдельной цифры получилось число больше 9, записывают цифру единиц, а десятки переносят к следующему разряду.
Затем умножают первый множитель на цифру десятков. Эта цифра обозначает не отдельные единицы, а десятки: например, цифра 2 в числе 27 означает 20. Поэтому второе неполное произведение соответствует умножению на 20, а не на 2, и в записи его сдвигают на один разряд влево.
Неполные произведения складывают, выравнивая их по разрядам. Если в сумме разряда получилось больше 9, десятки также переносят в следующий разряд. В конце проверьте порядок ответа прикидкой: округлите множители и оцените примерный результат; при необходимости проверьте делением произведения на один из множителей.
| Этап | Действие | Что важно учитывать |
|---|---|---|
| Умножение на единицы второго множителя | Умножить первый множитель на цифру единиц. | Записывать перенос к следующему разряду. |
| Запись первого неполного произведения | Записать результат под первым множителем. | Начать запись с разряда единиц. |
| Умножение на десятки второго множителя | Умножить первый множитель на цифру десятков. | Помнить, что цифра десятков обозначает число десятков. |
| Запись второго неполного произведения | Записать результат со сдвигом влево. | Начать со следующего столбца, под разрядом десятков. |
| Сложение неполных произведений и проверка | Сложить результаты, затем оценить ответ. | Совместить разряды и учесть переносы. |
Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующей строке только после завершения предыдущей. Особенно внимательно следи за разрядом при записи второго неполного произведения. В конце проверь и сложение, и разумность полученного ответа.
Задача 1. Вычислите 23 · 14, представив 14 как 10 + 4. Здесь удобно применить распределительное свойство: разложить второй множитель и умножить 23 на каждую часть. Затем сложить полученные результаты. Так видно, откуда берётся произведение, а не только как его получить.
Ответ: 322. Один множитель превратился в две части, и каждая дала отдельный результат. Их сумма и есть искомое произведение.
Задача 2. Вычислите столбиком 46 · 27. Сначала умножаем на единицы — 7, затем на десятки — 2 десятка. Вторую строку начинаем со столбца десятков, иначе результат умножения на 20 окажется записан как результат умножения на 2.
Ответ: 1242. Проверим прикидкой: 46 близко к 50, а 27 — к 30; 50 · 30 = 1500. Точный ответ немного меньше, что разумно для исходных множителей.
Задача 3. Вычислите 308 · 42 столбиком и проверьте, разумен ли ответ. В разрядах числа 308 есть ноль десятков, но он не меняет порядок алгоритма: умножаем на 2 единицы, затем на 4 десятка. Важно учесть переносы и не потерять ноль в первом неполном произведении.
Ответ: 12 936. Для прикидки округлим 308 примерно до 300, а 42 — до 40: получим около 12 000. Наш ответ близок к этой оценке, значит, он выглядит разумно.
При умножении на цифру десятков иногда забывают, что она обозначает десятки, и получают результат в десять раз меньше нужного. Так происходит, если воспринимать цифру 2 в числе 27 как число 2, а не 20. Проверь себя разложением множителя: 27 = 20 + 7.
Второе неполное произведение могут записать без сдвига. Ошибка возникает, когда смотрят только на цифру десятков и не учитывают её место в числе. Проверь, соответствует ли вторая строка умножению на 20, 30 или другое число десятков.
При умножении цифр забывают прибавить перенос к следующему разряду. Обычно это случается, когда переходят к новой цифре, не записав промежуточный результат. Проверяй каждый шаг и отмечай перенос над следующим разрядом, чтобы не пропустить его.
Ошибку можно допустить и при сложении неполных произведений: например, неверно совместить сотни, десятки и единицы. Причина часто в спешке или в неправильном выравнивании строк. Сложи числа заново по разрядам и оцени ответ прикидкой: она поможет заметить слишком большую или маленькую сумму.
Перед умножением на двузначное число нужно уметь умножать многозначное число на однозначное и складывать столбиком. Также важно понимать разрядный состав чисел, чтобы правильно разложить множитель и записать результат. Распределительное свойство объясняет, почему вычисление по частям даёт тот же ответ.
Этот способ пригодится при умножении более крупных чисел и в задачах из жизни. Например, чтобы найти стоимость нескольких одинаковых покупок, умножают цену на количество. При вычислении площади прямоугольника умножают длину на ширину, и иногда один из размеров оказывается двузначным.
Почему двузначный множитель можно разложить на десятки и единицы?
Любое двузначное число состоит из некоторого количества десятков и единиц: например, 27 = 20 + 7. Поэтому умножение на него можно заменить умножением на каждое слагаемое и сложением результатов.
Почему второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Второе неполное произведение получают при умножении на десятки, а не на единицы. Поэтому его цифры соответствуют разрядам, которые на один разряд левее; сдвиг показывает это место в записи.
Нужно ли записывать ноль в конце второго неполного произведения?
Если записывать результат умножения на десятки целиком, ноль на месте единиц нужен: например, 46 · 20 = 920. В обычной записи столбиком его часто не пишут, а начинают со второго столбца, то есть сразу ставят цифру десятков под разрядом десятков.
Что делать, если при умножении возникает перенос в следующий разряд?
Запиши цифру единиц полученного числа, а число десятков перенеси к следующему разряду. При умножении следующей цифры прибавь перенос к результату и продолжай вычисление.
Как проверить результат умножения на двузначное число?
Сначала оцени ответ прикидкой: округли множители и сравни примерный результат с точным. Можно также разделить произведение на один из множителей: должно получиться другое число из исходного примера.
Как умножают на двузначное число
