"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Круглые числа — натуральные числа, которые оканчиваются одним или несколькими нулями: например, 40, 700, 12 000. При их умножении удобно отделить нули от ненулевых частей: сначала перемножить оставшиеся числа, а затем учесть разрядные единицы, то есть десятки, сотни и тысячи. Такой приём помогает считать быстрее и не потерять разряд. Важно также проверить, не оканчивается ли нулём само произведение ненулевых частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круглое число — натуральное число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями. Чтобы определить их количество, считай нули справа до первой ненулевой цифры: в 700 их два, а в 12 000 — три. Это помогает понять, на какой разряд умножается ненулевая часть числа.
Множители круглого числа — его ненулевая часть и соответствующая разрядная единица. Например, 700 = 7 · 100: ненулевая часть равна 7, а разрядная единица — 100. Такое представление нужно, чтобы отделить обычное умножение цифр от учёта разрядов.
Разрядная единица — число 10, 100, 1000 и так далее. Один ноль соответствует десятку, два — сотне, три — тысяче: чем больше нулей, тем выше разрядная единица. Она показывает, во сколько раз круглое число больше своей ненулевой части.
Умножение круглых чисел — способ умножения, при котором отдельно перемножают ненулевые части и учитывают разрядные единицы. Например, в 30 · 40 сначала считают 3 · 4, а затем учитывают множители 10 и 10. Так удобнее выполнять вычисления и следить за количеством разрядов.
Представим каждый множитель как произведение ненулевой части и разрядной единицы. Например, 400 = 4 · 100, потому что четыре сотни составляют четыреста; так же 70 = 7 · 10. Тогда 400 · 70 можно записать как (4 · 100) · (7 · 10). Эта запись показывает, какие части можно сначала умножить отдельно.
Сначала перемножают ненулевые части, потому что это обычное умножение чисел без конечных нулей. В примере выше нужно найти 4 · 7 = 28, а не выполнять сразу умножение длинной записи. Это снижает риск ошибиться в разрядах. Разрядные единицы при этом не исчезают — их учитывают следующим шагом.
Разрядные единицы тоже перемножаются: 100 · 10 = 1000. Именно поэтому к результату 28 нужно приписать три нуля, и получится 28 000. В общем случае произведение 10, 100 и 1000 содержит столько нулей, сколько было в этих разрядных единицах вместе. Так объясняется правило подсчёта нулей, а не просто запоминается.
Алгоритм такой: посчитай нули в обоих множителях, умножь их ненулевые части обычным способом, затем приписывай нули от разрядных единиц. Например, в 600 · 70 ненулевые части — 6 и 7, а всего в множителях три нуля. Получаем 6 · 7 = 42 и 42 000. Если произведение ненулевых частей само оканчивается нулём, его тоже сохраняют: например, 2 · 5 = 10.
Перед вычислением полезно прикинуть порядок величины: округлить множители и оценить, каким примерно будет произведение. Для 2400 · 300 оценка 2000 · 300 = 600 000, поэтому ответ должен быть около сотен тысяч. Точное вычисление даёт 720 000, что соответствует оценке. Такая проверка помогает заметить, например, если случайно приписали слишком мало нулей.
| Пример | Ненулевые части | Всего нулей у множителей | Вычисление и результат |
|---|---|---|---|
| 30 · 40 | 3 и 4 | 2 | 3 · 4 = 12; 1200 |
| 600 · 70 | 6 и 7 | 3 | 6 · 7 = 42; 42 000 |
| 2400 · 300 | 24 и 3 | 4 | 24 · 3 = 72; 720 000 |
В таблице сначала найди ненулевые части множителей и сложи количество их конечных нулей. Затем проверь умножение этих частей и приписывай нули, которые пришли от разрядных единиц. Если произведение ненулевых частей оканчивается нулём, этот ноль также входит в ответ.
В обоих множителях есть конечные нули, поэтому удобно представить их как 3 · 10 и 4 · 10. Сначала считаем 3 · 4, а затем учитываем, что 10 · 10 = 100. Такой ход сразу показывает, почему в ответе окажутся два нуля.
Ответ: 1200. Проверка: 30 — это три десятка, а 40 — четыре десятка; три десятка на четыре десятка дают двенадцать сотен. Значит, результат согласуется с разрядами множителей.
У чисел разные количества нулей, поэтому считаем их в каждом множителе отдельно, а потом складываем. Ненулевые части равны 6 и 7, и их произведение — 42. Три нуля от разрядных единиц превращают 42 в число десятков тысяч.
Ответ: 42 000. Проверить можно разложением: 100 · 10 = 1000, а 42 · 1000 = 42 000. Здесь важно не приписать только нули числа 600 или только ноль числа 70.
Ненулевая часть первого числа — 24, второго — 3. Всего в множителях четыре конечных нуля, поэтому после умножения частей нужно умножить результат на 10 000. Для оценки округлим 2400 до 2000: произведение должно быть примерно 600 000, то есть иметь порядок сотен тысяч.
Ответ: 720 000. Результат правдоподобен: он немного больше грубой оценки, потому что вместо 2000 умножали 2400. Если ответ получился, например, 72 000, значит, один ноль потерялся.
Ошибка — учесть нули только одного множителя. Она возникает, когда ученик смотрит лишь на более заметное число или забывает, что второй множитель тоже содержит разрядную единицу. Сложи нули обоих множителей перед вычислением: у 600 · 70 их три, значит, множители разрядных единиц дадут 1000.
Ошибка — приписывать нули до умножения ненулевых частей. Тогда можно потерять разряд или запутаться в длинных записях, особенно если произведение частей многозначное. Сначала получи результат обычного умножения, а затем добавь разрядные единицы; проверь запись, например, разложением 600 · 70 = 42 · 1000.
Не всякое число без конечных нулей является круглым: круглое число обязательно оканчивается хотя бы одним нулём. Путаница появляется, если слово «круглое» понимают просто как «удобное» или «целое». Проверь последнюю цифру записи: 25 не круглое, а 250 — круглое.
Ошибка в умножении ненулевых частей переносится в итоговое число, даже если нули посчитаны правильно. Её допускают, когда пытаются считать слишком быстро и забывают перенос разряда, например в 24 · 3. Выполни обычное умножение поразрядно: 4 · 3 = 12, затем 2 · 3 и перенос дают 72; после этого приписывай нули.
Перед этой темой пригодятся таблица умножения и умение умножать многозначные числа: без них нельзя надёжно найти произведение ненулевых частей. Также нужно уметь представлять число в виде суммы или произведения разрядов. Например, понимание равенства 700 = 7 · 100 объясняет, почему нули соответствуют сотням.
Приём связан с умножением на 10, 100 и 1000: именно эти разрядные единицы скрыты в круглых множителях. Он помогает быстрее считать устно, а также решать задачи с крупными величинами — например, о расстояниях, количестве предметов или стоимости больших партий товара. Проверка оценкой пригодится, чтобы заметить ошибку в разряде.
Что называют круглым числом?
Круглым называют натуральное число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями. Например, 80 и 5000 — круглые числа, а 508 — нет.
Почему при умножении круглых чисел можно сначала отбросить нули?
Каждое круглое число можно представить как произведение ненулевой части и числа 10, 100, 1000 и так далее. Поэтому сначала удобно умножить ненулевые части, а множители 10, 100 или 1000 учесть отдельно.
Сколько нулей нужно приписать к произведению?
Припиши столько нулей, сколько всего оканчивало оба множителя, если произведение ненулевых частей не оканчивается нулём. Если оно заканчивается нулём, этот ноль тоже остаётся в результате: например, 20 · 50 = 2 · 5 · 100 = 1000.
Что делать, если в произведении ненулевых частей появился ноль?
Запиши произведение целиком, включая ноль, и затем приписывай нули от разрядных единиц множителей. Например, 2 · 5 = 10, поэтому 20 · 50 = 10 · 100 = 1000.
Как проверить, что результат получился правдоподобным?
Округли множители до удобных чисел и оцени примерный размер произведения. Затем проверь, что результат близок к этой оценке и содержит нужные разряды; при точном подсчёте учитывай также нули в произведении ненулевых частей.
Умножаем круглые числа
