"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Круглые числа оканчиваются нулями, поэтому их удобно умножать отдельно от этих нулей. Сначала перемножают оставшиеся цифры или числа, а затем приписывают к результату столько нулей, сколько было у обоих множителей вместе. Например, 20 · 30 = 2 · 3 · 100 = 600. Такой приём помогает быстро считать в уме, решать задачи о больших количествах и проверять, правдоподобен ли ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круглое число — число, которое оканчивается одним или несколькими нулями: например, 60, 800 или 15 000. Чтобы распознать такое число, посмотрите на его запись справа: нули должны идти подряд с самого конца. Это помогает быстро понять, какие множители можно временно отделить при вычислении.
Разрядная единица — единица, связанная с определённым разрядом числа: единица, десяток, сотня, тысяча и другие. Десяток равен 10, сотня — 100, тысяча — 1000; в записи каждой следующей разрядной единицы появляется ещё один ноль. Зная это, можно представить круглое число как число без конечных нулей, умноженное на подходящую разрядную единицу.
Умножение круглых чисел — приём, при котором сначала перемножают части множителей без конечных нулей, а затем приписывают конечные нули обоих множителей. Например, в 300 · 20 перемножают 3 и 2, а после этого учитывают три нуля. Такой способ упрощает запись вычисления и позволяет не выполнять столбиком умножение с длинными рядами нулей.
Круглое число можно представить как произведение числа без конечных нулей и разрядной единицы. Например, 300 = 3 · 100, потому что в числе 300 три сотни, а 100 содержит два нуля. Аналогично 40 = 4 · 10. Такое представление показывает, что конечные нули не исчезают: они обозначают множители 10, 100, 1000 и так далее.
Рассмотрим произведение (3 · 100) · (4 · 10). По переместительному свойству множители можно менять местами, а по сочетательному — объединять в удобные группы: (3 · 4) · (100 · 10). Эти свойства не меняют значение произведения, а только позволяют сначала вычислить части без нулей, затем разрядные единицы. Получается 12 · 1000 = 12 000.
Порядок вычислений такой: отделите конечные нули в каждом множителе, умножьте оставшиеся части и затем допишите нули. Например, в 120 · 300 остаются 12 и 3; их произведение равно 36. У первого множителя один конечный ноль, у второго — два, поэтому к 36 приписывают три нуля: 36 000. Разделение на две части делает вычисление наглядным и помогает не потерять нули.
Количество конечных нулей произведения равно сумме конечных нулей множителей, потому что каждый ноль соответствует множителю 10. Например, 100 · 100 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000: два множителя имеют по два нуля, а произведение — четыре. При умножении чисел без конечных нулей результат может сам оканчиваться нулём, как 2 · 5 = 10. Такой ноль возникает из самого произведения, поэтому правило о приписывании нулей не запрещает ему появиться дополнительно.
После вычисления полезно оценить порядок величины ответа. Для 120 · 300 можно заменить 120 близким круглым числом 100: тогда получается примерно 100 · 300 = 30 000. Точное произведение должно быть немного больше, и 36 000 этому соответствует. Если получилось, например, 3600 или 360 000, оценка подсказывает, что, вероятно, неверно посчитаны нули.
В таблице показано, как отделить части множителей без конечных нулей и определить, сколько нулей приписать. В строке с вычислением сначала выполняется обычное умножение оставшихся чисел. Пользуйтесь последним столбцом для сверки результата, а число нулей проверяйте отдельно у каждого множителя.
| Множители | Вычисление без конечных нулей | Сколько нулей приписать | Произведение |
|---|---|---|---|
| Пример: 20 · 30 | 2 · 3 = 6 | 2 | 600 |
| Пример: 400 · 50 | 4 · 5 = 20 | 3 | 20 000 |
| Пример: 120 · 300 | 12 · 3 = 36 | 3 | 36 000 |
Нужно найти произведение двух круглых чисел. В числе 20 один конечный ноль, и в числе 30 тоже один. Значит, можно сначала умножить 2 на 3, а затем вернуть два нуля.
Получаем 600. Проверим прикидкой: 20 · 30 — это 2 десятка, взятые 30 раз, то есть около 600. Ответ: 600.
Здесь в одном множителе два конечных нуля, а в другом один. Если учесть нули только у 400, ответ окажется в десять раз меньше нужного, поэтому сначала считаем нули у обоих чисел. Затем отдельно выполняем простое умножение 4 на 5.
Получаем 20 000. Проверка оценкой: 400 — это четыре сотни, а 50 — пять десятков; четыре сотни, умноженные на пять десятков, дают двадцать тысяч. Ответ: 20 000.
Чтобы найти общее количество деталей, число коробок нужно умножить на количество деталей в одной коробке. Поэтому составляем произведение 120 · 300. Это круглые числа, и правило позволяет вычислить его, не умножая столбиком числа с нулями.
Проверим порядок величины: если вместо 120 взять близкое число 100, то получится 100 · 300 = 30 000. Точный ответ должен быть немного больше, потому что коробок 120, а не 100; 36 000 подходит. Ответ: на склад привезли 36 000 деталей.
Учитывают нули только одного множителя. Например, при вычислении 400 · 50 можно заметить два нуля у 400 и забыть один у 50. Так происходит, если считать нули только в первом числе; проверьте оба множителя отдельно и сложите их количества.
Приписывают лишний ноль или пропускают нужный. Обычно ошибка появляется при быстром подсчёте или из-за того, что нули не выписаны отдельно. Перед записью ответа обозначьте количество нулей у каждого множителя, сложите его и сверяйте с результатом; прикидка тоже помогает заметить десятикратное расхождение.
Принимают за круглое любое число с нулём внутри. Например, 105 содержит ноль, но не оканчивается им, поэтому конечных нулей у числа нет. Ошибку допускают, не различая положение цифры; проверяйте правый край записи, а не просто наличие нуля.
Неверно умножают части без нулей, а затем механически приписывают нули. Например, можно ошибиться в 12 · 3 и получить неверную основу для ответа, даже правильно посчитав нули. Проверяйте оба действия: сначала пересчитайте произведение частей, затем нули, а итог сравните с приблизительной оценкой.
Для умножения круглых чисел нужны знание таблицы умножения и умение умножать многозначное число на однозначное: эти навыки помогают вычислить части без конечных нулей. Также важно понимать разрядный состав числа и видеть, что 300 = 3 · 100, а 100 — разрядная единица. Приём пригодится в устных вычислениях и задачах на общее количество предметов, а оценка результата помогает заметить ошибку до записи ответа.
Что называют круглым числом?
Круглое число — это число, которое оканчивается одним или несколькими нулями: например, 40, 700 или 12 000. Ноль должен стоять именно в конце числа.
Почему при умножении круглых чисел нули можно приписать в конце?
Каждый конечный ноль соответствует множителю 10, поэтому круглое число можно представить как произведение числа без конечных нулей и степени десяти. Множители 10 удобно сгруппировать вместе с результатом умножения остальных частей.
Сколько нулей нужно приписать к результату?
Нужно приписать столько нулей, сколько конечных нулей было в обоих множителях вместе. Например, у 400 два нуля, а у 50 один, поэтому к произведению 4 · 5 приписывают три нуля.
Что делать, если в одном из множителей нулей в конце нет?
Учитывайте только нули, которые стоят в конце другого множителя. Например, 24 · 300 = 24 · 3 с двумя нулями в конце, то есть 7200.
Как проверить, что произведение круглых чисел получено верно?
Пересчитайте конечные нули и проверьте умножение частей без них. Затем оцените порядок величины: например, 120 · 300 должно быть около 100 · 300, то есть около 30 000, поэтому ответ 36 000 правдоподобен.
Умножаем круглые числа
