"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Её сравнивают наложением, а измеряют с помощью одинаковых квадратов — единиц площади. Для прямоугольника достаточно перемножить длину и ширину, а для квадрата — умножить сторону саму на себя. Знание формул помогает вычислять размеры покрытий, участков, комнат и других объектов, а также решать задачи с составными фигурами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько места фигура занимает на плоскости. Её обозначают буквой S, сравнивают и измеряют. Это понятие нужно, чтобы узнавать размер поверхности комнаты, участка, листа или другой плоской фигуры.
Единица площади — площадь квадрата со стороной, равной одной единице длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², а со стороной 1 м — 1 м². Такие единицы помогают выражать площадь числом и сравнивать результаты измерений.
Площадь прямоугольника — число единичных квадратов, которыми можно покрыть прямоугольник без промежутков и наложений. Её вычисляют как произведение длины и ширины: S = a × b. Формула позволяет быстро найти площадь, не пересчитывая каждый квадрат по отдельности.
Площадь квадрата — площадь прямоугольника с равными сторонами. Если сторона квадрата равна a, то S = a², то есть a × a. Эта запись удобна потому, что у квадрата достаточно измерить только одну сторону.
Площадь можно сравнивать наложением фигур. Если одну фигуру целиком помещают внутри другой и при этом часть большей фигуры остаётся непокрытой, площадь первой меньше. Такой способ даёт наглядное сравнение, но для удалённых или сложных фигур удобнее использовать измерение.
Чтобы измерить площадь, фигуру мысленно покрывают одинаковыми квадратами без промежутков и наложений. Затем считают, сколько таких квадратов потребовалось. Размер квадрата задаёт единицу измерения: квадрат со стороной 1 см даёт единицу 1 см², поэтому результат будет выражен в квадратных сантиметрах.
Формула площади прямоугольника получается из подсчёта клеток. В одном ряду помещается столько единичных квадратов, сколько единиц длины содержит сторона прямоугольника, а одинаковых рядов столько, сколько единиц содержит его ширина. Поэтому общее число клеток равно произведению: S = a × b.
У квадрата все стороны равны, поэтому его длина и ширина имеют одно и то же значение a. В формуле прямоугольника S = a × b обе величины заменяются на a. Получается S = a × a = a², то есть сторона умножается сама на себя.
Составную фигуру можно разделить на несколько прямоугольников так, чтобы их площади было легко вычислить. Если части не перекрываются, найденные площади складывают. Когда из большой фигуры вырезана часть, сначала находят площадь целой фигуры и площадь выреза, а затем выполняют вычитание.
| Фигура | Обозначения | Формула площади | Единицы площади |
|---|---|---|---|
| Прямоугольник | a — длина, b — ширина | S = a × b | мм², см², дм², м² |
| Квадрат | a — сторона | S = a² | мм², см², дм², м² |
| Как связаны стороны фигуры и площадь | Площадь зависит от произведения соответствующих линейных размеров. | ||
Сначала определите вид фигуры и подпишите известные стороны. Затем выберите формулу и проверьте, что все длины выражены в одинаковых единицах.
В последней строке таблицы отражена главная идея: площадь считают квадратными единицами, поэтому в формуле перемножают длины, а не складывают их.
Задача 1. Найди площадь прямоугольника со сторонами 7 см и 4 см. Даны длина 7 см и ширина 4 см, поэтому подходит формула S = a × b. Единицы уже одинаковые, значит дополнительное преобразование не требуется.
Ответ: 28 см². Число 28 означает, что прямоугольник можно покрыть 28 квадратами со стороной 1 см.
Задача 2. Квадрат имеет сторону 9 дм. Найди его площадь. У квадрата обе стороны равны, поэтому не нужно искать отдельные длину и ширину. Используем формулу S = a² и сохраняем единицу в квадратном виде.
Ответ: 81 дм². Нельзя записывать результат в дм, потому что дм — единица длины, а не площади.
Задача 3. Прямоугольная площадка размером 10 м на 6 м имеет клумбу 4 м на 2 м. Требуется найти площадь площадки без клумбы, поэтому площадь клумбы не входит в искомую область. Сначала найдём площадь всей площадки, затем вычтем площадь вырезанной части.
Ответ: 52 м². Проверка смысла решения проста: оставшаяся часть должна быть меньше всей площадки, и 52 м² действительно меньше 60 м².
Ошибка 1. После умножения сторон записывают сантиметры или метры вместо квадратных единиц. Так происходит потому, что в условии указаны единицы длины, но произведение двух длин описывает площадь. Проверьте ответ вопросом «сколько квадратных единиц?» и запишите см², м² или другую подходящую единицу.
Ошибка 2. Длину и ширину складывают: a + b. Такое действие даёт сумму двух отрезков, а не число единичных квадратов внутри прямоугольника. Сверьте действие с формулой S = a × b и представьте хотя бы один ряд клеток.
Ошибка 3. Для квадрата применяют формулу S = 4a. Формула с числом 4 находит периметр, потому что складывает четыре стороны границы. Для площади квадрата нужно умножить сторону саму на себя: S = a².
Ошибка 4. При составной фигуре складывают площади всех частей, хотя одна из них вырезана. Причина ошибки — невнимательное чтение условия и отсутствие схемы «целое минус вырез». Определите, какие области входят в фигуру, и проверьте, должна ли искомая площадь быть больше или меньше площади целой фигуры.
До изучения площади нужно уметь измерять длины, умножать натуральные числа и различать единицы длины. Без этих навыков трудно правильно подставить данные в формулу и выбрать единицу ответа. Особенно важно приводить все стороны к одной единице.
Понятие площади понадобится при изучении площадей треугольника и других фигур. Оно также используется в практических задачах о покрытиях, ремонте, комнатах и земельных участках. Во многих таких задачах сложную область сначала заменяют суммой или разностью простых фигур.
Почему площадь измеряют квадратными, а не обычными единицами?
Площадь показывает, сколько квадратов помещается внутри фигуры. Поэтому единицей служит квадрат со стороной 1 мм, 1 см, 1 м и так далее, а не отдельный отрезок.
Как найти площадь прямоугольника, если известны его стороны?
Нужно умножить длину прямоугольника на его ширину: S = a × b. Ответ записывают в квадратных единицах, например в см² или м².
Чем площадь квадрата отличается от его периметра?
Площадь показывает размер части плоскости внутри квадрата и вычисляется по формуле S = a². Периметр — это длина границы квадрата, поэтому его находят так: P = 4a.
Как выбрать единицы для измерения площади?
Выбирают единицу, подходящую к размерам объекта: для маленьких предметов используют мм² или см², для комнат — м². Все длины перед вычислением должны быть выражены в одинаковых единицах.
Как найти площадь фигуры, составленной из нескольких прямоугольников?
Фигуру разделяют на прямоугольники, находят площадь каждого и складывают результаты. Если из целой фигуры вырезана часть, её площадь вычитают из площади всей фигуры.
Вычисляем площадь
