"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Приёмы умножения помогают считать быстрее и удобнее, не меняя значения выражения. Для этого используют переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство относительно сложения. Множители можно переставлять и группировать, умножать число на каждое слагаемое суммы или выносить общий множитель за скобки. Эти способы особенно полезны в длинных выражениях и устных вычислениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множители — числа, которые перемножают. Например, в записи 6 · 4 числа 6 и 4 являются множителями, а 24 — произведением. Зная эту связь, легче понимать, какие числа можно переставлять или объединять при вычислении.
Переместительное свойство умножения означает, что произведение не меняется при перестановке множителей: a · b = b · a. Например, 3 · 8 = 8 · 3. Свойство нужно, чтобы поставить первым тот множитель, с которым удобнее считать.
Сочетательное свойство умножения позволяет объединять множители в группы разными способами: (a · b) · c = a · (b · c). Результат остаётся тем же. Благодаря этому можно сначала получить круглое число или более простое произведение.
Распределительное свойство умножения относительно сложения выражает правило a(b + c) = ab + ac. Произведение суммы на число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число. Это свойство используют при раскрытии скобок и при обратном вынесении общего множителя.
Переместительное свойство помогает выбрать удобный порядок вычислений. Например, в произведении 2 · 17 · 5 можно переставить множители и получить 2 · 5 · 17. Сначала находится 10, поэтому всё выражение считается проще: 10 · 17 = 170.
Сочетательное свойство показывает, что скобки в произведении можно расставлять по-разному. В выражении 4 · 25 · 6 удобно объединить 4 и 25, потому что их произведение равно 100. Получается 100 · 6 = 600, хотя исходный порядок действий был другим.
Умножение суммы на число можно вывести из смысла умножения. Если число a умножить на сумму b + c, то нужно взять a раз число b и a раз число c, то есть сложить ab и ac. Поэтому a(b + c) = ab + ac, например 6(20 + 3) = 6 · 20 + 6 · 3.
Обратный приём работает потому, что в нескольких произведениях может повторяться один и тот же множитель. В сумме ab + ac буква a встречается в обоих слагаемых, поэтому её выносят за скобки: ab + ac = a(b + c). Внутри скобок записывают оставшиеся множители b и c, соединяя их знаком сложения.
Свойства можно сочетать в одном выражении. Сначала переставляют множители, затем группируют удобные пары, а при необходимости раскрывают скобки или выносят общий множитель. Каждое преобразование сохраняет значение выражения, поэтому окончательный результат равен исходному.
| Приём | Запись | Как использовать | Пример |
|---|---|---|---|
| Перестановка множителей | a · b = b · a | Поменять множители местами и выбрать удобный порядок. | 2 · 17 · 5 = 2 · 5 · 17 |
| Группировка множителей | (a · b) · c = a · (b · c) | Объединить множители, дающие круглое или простое число. | 4 · 25 · 6 = (4 · 25) · 6 |
| Умножение суммы на число | a(b + c) = ab + ac | Умножить внешний множитель на каждое слагаемое. | 6(20 + 3) = 6 · 20 + 6 · 3 |
| Вынесение общего множителя за скобки | ab + ac = a(b + c) | Найти повторяющийся множитель и записать его перед скобками. | 38 · 7 + 62 · 7 = (38 + 62) · 7 |
Сначала определите, какой приём подходит к выражению. В произведении ищите удобную пару множителей, а в сумме произведений — общий множитель. После преобразования можно проверить результат обратным действием или повторным вычислением.
Задача 1. Вычислите 25 · 17 · 4. В исходном порядке сначала пришлось бы умножать 25 на 17. Но числа 25 и 4 удобно объединить, потому что их произведение равно 100.
Ответ: 1700. Значение не изменилось, потому что использованы переместительное и сочетательное свойства умножения.
Задача 2. Вычислите 6 · (20 + 3). Здесь число 6 умножается на сумму. Чтобы не складывать слагаемые заранее, можно распределить множитель 6 на оба слагаемых.
Ответ: 138. Можно проверить вычисление сначала внутри скобок: 20 + 3 = 23, затем 6 · 23 = 138.
Задача 3. Вычислите 38 · 7 + 62 · 7 удобным способом. В обоих слагаемых повторяется множитель 7. Поэтому выгоднее не выполнять два отдельных умножения, а вынести этот множитель за скобки.
Ответ: 700. Такой способ сокращает число действий и основан на распределительном свойстве, применённом в обратную сторону.
Слагаемые пытаются переставлять как множители или меняют порядок действий без свойства. Переместительное свойство относится отдельно к членам суммы и отдельно к множителям произведения. Проверяйте знак между числами: при умножении можно менять множители, а в сумме перестановка слагаемых требует свойства сложения.
При раскрытии скобок множитель умножают только на первое слагаемое. Ошибка возникает, когда запись a(b + c) воспринимают как одно действие с b. Проведите стрелку от внешнего множителя к каждому слагаемому и убедитесь, что получены два произведения.
При вынесении общего множителя за скобки теряют слагаемое или оставляют общий множитель снаружи ещё раз. Такое случается, если не проверить каждый член исходной суммы. Раскройте скобки обратно и сравните результат с исходным выражением.
Иногда порядок действий меняют просто ради удобства, но новое выражение уже имеет другое значение. Свойства позволяют менять только порядок множителей, их группировку или форму суммы и произведения. После каждого преобразования назовите использованное свойство и выполните обратную проверку.
Перед изучением приёмов нужно уверенно умножать натуральные числа. Также необходимо знать порядок действий в выражениях со скобками. Эти навыки помогают не ошибиться, когда удобное преобразование уже выполнено.
Приёмы умножения полезны в устных вычислениях и при упрощении числовых выражений. Они сокращают количество действий в задачах, где нужно выполнить несколько операций. Особенно часто встречаются круглые числа и повторяющиеся множители.
Позже эти свойства применяются при раскрытии скобок и преобразовании алгебраических выражений. Буквенные множители подчиняются тем же правилам, что и числа. Поэтому понимание этой темы станет основой для дальнейших действий с формулами.
Можно ли менять множители местами?
Да, множители можно переставлять местами: от этого произведение не изменяется. Например, 2 · 15 = 15 · 2.
Зачем группировать множители?
Группировка позволяет сначала умножить числа, из которых удобно получить круглое число или простой результат. Например, в выражении 25 · 4 · 7 удобно сначала вычислить 25 · 4.
Как умножить число на сумму?
Число умножают на каждое слагаемое, а полученные произведения складывают. Поэтому a(b + c) = ab + ac.
Как вынести общий множитель за скобки?
Нужно найти множитель, который есть во всех слагаемых, и записать его перед скобками. В скобках остаются множители, на которые он умножался: ab + ac = a(b + c).
Как проверить, что выражение преобразовано правильно?
Можно вычислить исходное и преобразованное выражения отдельно и сравнить результаты. Также проверьте, что множитель умножен на каждый член суммы и ни одно слагаемое не потерялось.
Приёмы умножения
