"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Движение в противоположных направлениях описывает, как меняется расстояние между объектами на одной прямой: они могут ехать навстречу или удаляться друг от друга. Чтобы решить задачу, сначала определяют направление движения, затем находят скорость изменения расстояния. При сближении и удалении скорости складывают, а пройденный путь каждого объекта вычисляют по формуле s = vt. Если старт был в разное время, учитывают отдельное время движения каждого.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение в противоположных направлениях — движение двух объектов по одной прямой в разные стороны. При этом они могут ехать навстречу друг другу или разъезжаться, поэтому расстояние между ними не обязательно меняется одинаково. Это различие нужно установить до вычислений: от него зависит, как описать изменение расстояния.
Скорость сближения — скорость, с которой расстояние между объектами, движущимися навстречу, уменьшается. Она равна сумме их скоростей: v₁ + v₂. По ней можно определить, сколько времени потребуется до встречи.
Скорость удаления — скорость, с которой расстояние между объектами, разъезжающимися в разные стороны, увеличивается. Она тоже равна сумме скоростей, потому что оба объекта увеличивают промежуток между собой. Это помогает находить расстояние между ними спустя заданное время.
Расстояние между движущимися объектами — промежуток между их положениями на прямой в выбранный момент. Чтобы найти его, нужно знать начальное расстояние и понять, складываются ли пройденные пути с ним или уменьшают его. Поэтому одного знания скоростей недостаточно: важны направления и время движения.
Сначала отметьте объекты на прямой и стрелками покажите, куда каждый направляется. Если стрелки направлены друг к другу, объекты сближаются; если они направлены в разные стороны от промежутка между объектами, расстояние растёт. Одни только слова «в противоположных направлениях» не определяют, встречаются ли объекты: это зависит от того, где они находятся в начале движения.
При движении навстречу каждый объект за час проходит часть начального промежутка. Поэтому за один час расстояние между ними уменьшается на путь первого плюс путь второго. Например, при скоростях 4 км/ч и 5 км/ч промежуток сокращается на 9 км за час, то есть скорость сближения равна 4 + 5 = 9 км/ч.
Когда объекты удаляются в разные стороны, каждый за единицу времени отодвигается от другого. Расстояние между ними увеличивается на оба пройденных пути, поэтому скорость удаления также равна сумме скоростей. Если начальный промежуток равен d, то через время t он станет d + (v₁ + v₂)t; формула подходит, пока объекты продолжают двигаться в заданных направлениях.
Для встречи начальное расстояние должно быть равно сумме путей, пройденных обоими объектами к этому моменту. Если они стартовали одновременно, можно сложить скорости и разделить начальное расстояние на скорость сближения: t = d / (v₁ + v₂). Если требуется расстояние до встречи или после некоторого времени, сначала находят отдельные пути по формуле s = vt, а затем складывают или вычитают их согласно ситуации.
Схема или таблица помогают не перепутать величины: для каждого объекта указывают скорость, время и путь, а отдельно — начальное расстояние и то, как оно меняется. Если старты не совпадают, времена в строках объектов будут разными. Например, при старте второго на 30 минут позже, если первый движется t часов, второй движется t − 0,5 часа; именно эти выражения подставляют в формулы путей.
| Ситуация | Как меняется расстояние | Скорость изменения расстояния | Связь расстояния и времени |
|---|---|---|---|
| Объекты движутся навстречу друг другу | Уменьшается | v₁ + v₂ — скорость сближения | d − (v₁ + v₂)t; при встрече выражение равно 0 |
| Объекты удаляются друг от друга | Увеличивается | v₁ + v₂ — скорость удаления | d + (v₁ + v₂)t |
| Объекты начинают движение не одновременно | Зависит от расположения и направлений | При встречном движении — сумма скоростей | Для каждого объекта используют своё время движения |
В таблице d — начальное расстояние, v₁ и v₂ — скорости объектов, t — время. Сначала выберите строку по схеме движения, а затем подставляйте значения в соответствующую связь. При неодновременном старте отдельно запишите время в пути каждого объекта.
Два пешехода одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Нужно найти расстояние между ними через 3 часа. Начального промежутка нет, а каждый пешеход уходит от другого, поэтому расстояние растёт на сумму их путей.
Ответ: через 3 часа пешеходов будет разделять 27 км.
Расстояние между двумя городами составляет 240 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали автомобили со скоростями 50 км/ч и 70 км/ч. Нужно определить время до встречи. Автомобили сокращают один и тот же промежуток, поэтому за каждый час к встрече приближаются на сумму пройденных расстояний.
Ответ: автомобили встретятся через 2 часа.
Расстояние между пунктами — 180 км. Первый велосипедист выехал навстречу второму со скоростью 60 км/ч, а второй отправился из другого пункта на 30 минут позже со скоростью 40 км/ч. Нужно узнать время от выезда первого до встречи. Поздний старт означает, что велосипедисты будут в пути разное время, поэтому нельзя просто поделить расстояние на сумму скоростей.
Ответ: велосипедисты встретятся через 2 часа после выезда первого.
При движении навстречу иногда вычитают скорости, перенося правило для движения в одном направлении. Но здесь за единицу времени расстояние уменьшается на оба пути, поэтому скорости складывают. Проверьте себя: если один объект остановить, расстояние всё равно будет меняться со скоростью второго, а при движении обоих навстречу изменение должно быть больше.
Другая ошибка — считать, что противоположные направления всегда означают удаление. На прямой объекты могут быть расположены так, что движутся друг к другу, хотя направления у них разные. Нарисуйте точки и стрелки: если стрелки указывают в сторону промежутка между объектами, они сближаются; если направлены от него — удаляются.
При задержке старта часто назначают обоим объектам одно время движения. Это приводит к неверным путям, потому что поздно стартовавший объект был в пути меньше. Запишите время каждого через выбранную переменную и проверьте разность: при задержке на 0,5 часа она должна составлять именно 0,5 часа.
Можно сложить скорости и забыть умножить результат на время либо перепутать изменение расстояния с его итоговым значением. Скорость измеряется, например, в км/ч, а расстояние — в километрах, поэтому для получения пути нужна операция умножения на часы. В конце проверьте, прибавляли ли вы изменение к начальному расстоянию или вычитали его, и совпадают ли единицы.
Для таких задач нужно уметь находить путь по формуле s = vt и переводить единицы: например, 30 минут — это 0,5 часа. Полезно также составлять таблицы величин и решать простые уравнения: так неизвестное время связывают с путями обоих объектов. Эти же приёмы применяют в задачах на движение по реке, движение в одном направлении и задержку старта, хотя способ сравнения скоростей может отличаться.
Как понять, нужно складывать скорости или вычитать?
Посмотрите, как меняется расстояние между объектами. Если они движутся навстречу или удаляются в противоположные стороны, скорости складывают. Если движутся в одну сторону, обычно скорость сближения находят как разность скоростей.
Почему при движении навстречу скорости складываются?
За один и тот же час каждый объект проходит свой путь навстречу другому. Поэтому расстояние между ними уменьшается сразу на оба пути, а скорость сближения равна сумме скоростей.
Как найти расстояние между объектами через некоторое время?
Найдите, сколько каждый объект прошёл за это время: s = vt. Если объекты удаляются, прибавьте оба пути к начальному расстоянию; если сближаются — вычтите их сумму из начального расстояния.
Что делать, если объекты начали движение не одновременно?
Обозначьте время от старта одного объекта и выразите через него время движения второго. Например, если второй выехал на полчаса позже, он был в пути на 0,5 часа меньше. Затем составьте уравнение по пройденным путям.
Как отличить скорость сближения от скорости удаления?
Скорость сближения показывает, на сколько за единицу времени уменьшается расстояние, а скорость удаления — на сколько оно увеличивается. При движении навстречу и при удалении в разные стороны обе скорости изменения расстояния равны сумме скоростей объектов.
Движение в противоположных направлениях
