"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Умножение на трёхзначное число помогает быстро находить произведение больших чисел, не выполняя вычисления целиком в уме. Для этого множитель раскладывают на сотни, десятки и единицы, умножают на каждое разрядное слагаемое, а полученные неполные произведения складывают. В записи столбиком положение каждой части связано с её разрядом: это помогает не потерять десятки и сотни. Результат можно проверить прикидкой или обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Трёхзначный множитель — число, в записи которого три цифры; его можно представить суммой разрядных слагаемых. Например, множитель 236 состоит из сотен, десятков и единиц. Такое представление нужно, чтобы заменить одно сложное вычисление несколькими более простыми.
Разрядные слагаемые — слагаемые, на которые раскладывают число по разрядам: 236 = 200 + 30 + 6. Здесь 200 показывает две сотни, 30 — три десятка, а 6 — шесть единиц. Разложение помогает увидеть, на какие части числа нужно умножать.
Неполное произведение — результат умножения другого множителя на одно из разрядных слагаемых трёхзначного множителя. Например, при вычислении 24 · 132 одним из таких результатов будет 24 · 30. Это слово напоминает, что найдено только одно слагаемое будущего ответа.
Письменное умножение на трёхзначное число — способ найти произведение, последовательно вычисляя неполные произведения и складывая их. Каждое из них записывают в столбик с учётом разряда цифры множителя. Алгоритм нужен, чтобы выполнять вычисления аккуратно и не путать единицы, десятки и сотни.
Трёхзначный множитель удобно разложить на сотни, десятки и единицы, потому что каждую из этих частей можно умножить отдельно. Например, 236 = 200 + 30 + 6. Вместо умножения на 236 мы получим три более простых действия, а затем соберём их результаты. Такой способ опирается на запись числа по разрядам.
Основание вычисления — распределительное свойство умножения относительно сложения: a · (200 + 30 + 6) = a · 200 + a · 30 + a · 6. Например, 24 · 132 = 24 · (100 + 30 + 2) = 24 · 100 + 24 · 30 + 24 · 2. Равенство верно, потому что 132 — это сумма трёх частей, а каждую часть умножают на одно и то же число 24. Так умножение на сумму заменяется сложением произведений.
В столбике сначала находят произведение на цифру единиц, затем на цифру десятков и на цифру сотен. Записи располагают со сдвигом: результат умножения на десятки сдвигают на один разряд, на сотни — на два. Сдвиг нужен не для удобства записи, а чтобы показать, что результат относится к десяткам или сотням. Если записывать все результаты начиная с единиц, разрядное значение потеряется.
При умножении на десятки и сотни важно учитывать не только цифру, но и её место в числе. В числе 132 цифра 3 означает не три единицы, а три десятка, то есть 30; поэтому умножают на 30 или записывают результат со сдвигом. Цифра 1 в разряде сотен означает 100, а не просто 1. Разрядный сдвиг в столбике заменяет запись соответствующего количества нулей и помогает не ошибиться в величине результата.
После вычисления всех неполных произведений их складывают, располагая одноимённые разряды друг под другом. Так выполняется равенство из распределительного свойства, а сумма даёт полное произведение. Проверка прикидкой помогает заметить грубую ошибку: округлите множители и сравните примерный результат с ответом. Для более точной проверки разделите произведение на один из множителей и убедитесь, что получили другой множитель.
| Этап | Что сделать | Как учесть разряд |
|---|---|---|
| Умножение на цифру единиц | Умножить первый множитель на единицы трёхзначного числа. | Записать результат в разрядах единиц, десятков и далее. |
| Умножение на цифру десятков | Умножить на цифру десятков. | Сдвинуть запись на один разряд влево. |
| Умножение на цифру сотен | Умножить на цифру сотен. | Сдвинуть запись на два разряда влево. |
| Сложение неполных произведений | Сложить все полученные результаты. | Совместить единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями. |
| Проверка результата | Оценить ответ или выполнить обратное действие. | Сравнить порядок результата с прикидкой либо разделить произведение на множитель. |
Пользуйтесь таблицей как планом вычисления: переходите к следующему этапу только после записи предыдущего неполного произведения. Перед сложением проверьте, что части расположены по разрядам. В конце оцените, правдоподобен ли ответ.
Представим 132 как сумму 100 + 30 + 2. Тогда число 24 нужно умножить на каждую часть, а найденные результаты сложить. Такой ход позволяет увидеть смысл каждого шага и проверить, что ни один разряд не пропущен.
Умножаем на единицы: 24 · 2 = 48. Это первое неполное произведение, оно относится к единицам множителя 132.
Умножаем на десятки: 24 · 30 = 720. Здесь нельзя заменить 30 числом 3 без учёта разряда: результат должен быть в десять раз больше, чем 24 · 3.
Умножаем на сотни: 24 · 100 = 2400. Получили третье неполное произведение, которое относится к разряду сотен.
Складываем: 48 + 720 + 2400 = 3168. Ответ: 24 · 132 = 3168.
Разложим 247 на 200 + 40 + 7, а затем вычислим три неполных произведения. Особое внимание уделим десяткам: в множителе 247 их четыре, то есть умножать нужно на 40. Ноль в числе 306 не означает, что число можно сократить или изменить порядок разрядов.
На единицы: 306 · 7 = 2142. При умножении многозначного числа на однозначное переносим десятки в следующий разряд.
На десятки: 306 · 40 = 12 240. Произведение 306 · 4 равно 1224, но четыре десятка дают результат в десять раз больше. В столбике эта разрядная особенность передаётся сдвигом записи.
На сотни: 306 · 200 = 61 200. Это произведение на 2 с двумя нулями, потому что цифра 2 стоит в разряде сотен.
Складываем: 2142 + 12 240 + 61 200 = 75 582. Ответ: 306 · 247 = 75 582.
За один день изготовили 125 деталей. Сколько деталей изготовят за 248 дней, если каждый день выпуск одинаковый? Число дней показывает, сколько раз повторяется дневной выпуск, поэтому нужно умножить количество деталей за день на число дней. Составляем произведение 125 · 248.
Разложим 248: 248 = 200 + 40 + 8. Тогда найдём, сколько деталей получится за 200, 40 и 8 дней.
Вычислим неполные произведения: 125 · 8 = 1000; 125 · 40 = 5000; 125 · 200 = 25 000. Каждое действие соответствует своей части числа дней.
Сложим результаты: 1000 + 5000 + 25 000 = 31 000. Ответ: за 248 дней изготовят 31 000 деталей.
Проверим оценкой: 125 · 248 примерно равно 125 · 250 = 31 250. Полученное число близко к этой оценке, значит, результат правдоподобен.
Неполное произведение на десятки или сотни иногда записывают без разрядного сдвига. Так случается, когда смотрят только на цифру 3 в числе 132 и забывают, что это три десятка. Проверьте себя разложением множителя: если умножаете на 30, результат должен быть в десять раз больше, чем при умножении на 3.
Другая ошибка — сложить неполные произведения, не выровняв разряды. Например, единицы одной строки могут оказаться под десятками другой, и сумма станет неверной. Перед сложением проверьте столбцы: единицы должны стоять под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотнями. Если удобнее, сначала запишите каждое произведение отдельно.
Ноль в середине множителя может сбить порядок записи: ученик пропускает разряд и сдвигает следующее произведение не туда. Нулевое произведение действительно можно не записывать, но место разряда всё равно нужно учитывать. Например, в числе 205 после единиц идут десятки, а затем сотни; мысленно проверьте, на какой разряд умножаете. Полезно разложить число на 200 + 0 + 5.
При умножении и сложении можно неверно перенести десятки в следующий разряд или забыть прибавить уже записанный перенос. Из-за этого ошибка часто появляется даже при верно составленном столбике. Пересчитывайте каждый разряд по таблице умножения и отмечайте перенос отдельно. В конце проверьте ответ прикидкой или делением.
Для умножения на трёхзначное число нужны таблица умножения и умение умножать многозначное число на однозначное: именно на этих действиях строится каждый шаг алгоритма. Также важно понимать запись числа в виде суммы разрядных слагаемых, например 247 = 200 + 40 + 7. Освоенный письменный способ пригодится при умножении многозначных чисел и в задачах на равные группы. Он помогает находить общий результат, когда одинаковая величина повторяется несколько раз, например при постоянной производительности.
Зачем раскладывать трёхзначный множитель на разрядные слагаемые?
Так сложное умножение превращается в несколько более простых: на сотни, десятки и единицы. Затем результаты складывают, потому что умножение распределяется относительно сложения.
Почему неполные произведения в столбике записываются со сдвигом?
Сдвиг показывает разряд, на который умножали: единицы, десятки или сотни. Например, произведение на цифру десятков нужно записать в разряде десятков, а не единиц.
Что делать, если в трёхзначном множителе есть ноль?
Умножение на ноль даёт нулевое неполное произведение, поэтому его можно не записывать. Но разряд нуля нужно учитывать, чтобы следующее неполное произведение оказалось на правильном месте.
Нужно ли записывать ноль в начале неполного произведения?
Обычно нули в начале числа не записывают: например, 0 · 306 = 0, и достаточно пропустить это слагаемое. Главное — сохранить правильный разрядный сдвиг остальных неполных произведений.
Как проверить умножение на трёхзначное число?
Сначала оцените результат округлением: он должен быть примерно равен произведению округлённых множителей. Точнее проверить вычисление можно делением произведения на один из множителей: должно получиться другое число.
Умножаем на трёхзначное число
