"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Логика помогает проверять математические утверждения и строить рассуждения без догадок. Нужно уметь отличать высказывание от вопроса или команды, устанавливать его истинность, правильно составлять отрицание и находить контрпример. Эти приёмы показывают, следует ли вывод из условия, помогает ли пример доказательству и достаточно ли одного случая, чтобы опровергнуть общее правило.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание — предложение, которому можно однозначно приписать истинность или ложность. Например, «15 делится на 3» — высказывание, а «Реши задачу» — команда. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие предложения можно проверять математически.
Истинное и ложное высказывания — суждения, которые соответственно соответствуют или не соответствуют фактам и условиям задачи. Высказывание «2 + 2 = 4» истинно, а «9 — простое число» ложно. Такое различие помогает отделить доказанный факт от ошибочного утверждения.
Отрицание высказывания — утверждение, отрицающее исходное и имеющее противоположное ему значение истинности. Если исходное высказывание истинно, его отрицание ложно, и наоборот. Отрицание нужно, чтобы точно формулировать противоположное условие, особенно в задачах со словами «все» и «некоторые».
Контрпример — частный случай, опровергающий утверждение, объявленное верным для всех случаев. Он должен удовлетворять исходному условию, но не подтверждать заявленный вывод. Контрпример позволяет быстро показать, что общего правила на самом деле нет.
Сначала условие нужно прочитать точно: отдельно назвать известные данные, требуемый вывод и ограничения. Причина проста: даже правильное рассуждение приведёт к ошибке, если в него случайно добавить лишнее или пропустить важное условие. Полезно мысленно разделить задачу на вопрос «что дано?» и вопрос «что требуется установить?».
Истинность высказывания проверяют сравнением с данными, определениями и уже известными правилами. Правдоподобная фраза может оказаться ложной, поэтому нельзя решать по впечатлению от её звучания. Если утверждение относится к конкретному объекту, достаточно выполнить вычисление или проверить нужное свойство именно у него.
У слов «все» и «некоторые» разный логический смысл. Чтобы опровергнуть утверждение «все объекты обладают свойством», достаточно найти один объект без этого свойства: именно он нарушает требование общего правила. Отрицание такого утверждения звучит как «существует хотя бы один объект, который свойством не обладает», а не как «ни один объект им не обладает».
Логическая цепочка строится так, чтобы каждый новый вывод имел основание. Им может быть условие задачи, определение, вычисление или предыдущий уже обоснованный шаг. Такая запись нужна потому, что пропущенное звено иногда скрывает ошибку: результат может выглядеть разумным, но не следовать из исходных данных.
В задачах на закономерности сначала выдвигают предположение, затем проверяют его на нескольких подходящих случаях. После этого нужно спросить, действительно ли найденное свойство необходимо или оно появилось случайно. Несколько совпадений помогают заметить правило, но окончательное доказательство должно объяснять, почему оно работает во всех требуемых случаях.
| Что проверяем | Основной приём | Что позволяет заключить | Ограничение |
|---|---|---|---|
| Утверждение об одном объекте | Подставить данные и проверить свойство | Установить истинность или ложность именно этого высказывания | Вывод относится только к указанному объекту |
| Общее утверждение «для всех» | Найти доказательство правила или проверить возможность контрпримера | Доказать общее правило либо опровергнуть его одним исключением | Несколько примеров сами по себе не дают общего доказательства |
| Утверждение «существует хотя бы один» | Найти один подходящий объект и проверить его | Подтвердить существование нужного случая | Один найденный объект не показывает, что свойством обладают все |
| Предполагаемая закономерность | Сравнить несколько случаев и обосновать общий механизм | Обнаружить правило и проверить, не зависит ли оно от случайности | Совпадения в ограниченном числе случаев могут иметь исключения |
Сначала определите, к какому типу относится утверждение: об одном объекте, обо всех или хотя бы об одном. Затем выберите приём из соответствующей строки. Последний столбец напоминает, какой вывод делать нельзя.
Нужно разобрать три предложения: «Число 12 делится на 3», «Решите уравнение», «Существует ли простое чётное число?». Проверяем не то, можно ли на них ответить, а утверждают ли они факт с однозначным значением истинности. Для первого предложения ответ можно установить вычислением, а два других имеют форму команды и вопроса.
Ответ: высказыванием является только предложение «Число 12 делится на 3»; оно истинное.
Дано утверждение: «Все числа, кратные 4, чётные». Требуется сформулировать его отрицание и проверить, истинно ли оно. Важно сохранить область рассмотрения — числа, кратные 4, — и заменить требование для всех на существование исключения.
Ответ: отрицание сформулировано верно, но оно ложно. Исходное утверждение истинно.
Проверим фразу: «Если натуральное число делится на 6, то оно делится на 4». Для опровержения условного общего утверждения нужен пример, который удовлетворяет условию, но нарушает заключение. Поэтому ищем число, делящееся на 6 и не делящееся на 4.
Ответ: утверждение ложно; контрпример — число 6.
Считать вопрос или приказ высказыванием. Так происходит, если сосредоточиться на математических словах и забыть о форме предложения. Проверьте себя: можно ли ответить на него только «истинно» или «ложно»; если предложение просит или приказывает, это не высказывание.
Неправильно отрицать утверждение со словом «все». Иногда вместо одного возможного исключения говорят «ни один объект не обладает свойством», хотя это гораздо более сильное утверждение. Переформулируйте отрицание через слова «существует хотя бы один» и проверьте, сохранён ли исходный объектный класс.
Считать несколько примеров доказательством общего правила. Ошибка появляется потому, что одинаковый результат создаёт ощущение закономерности. Проверьте себя поиском особых случаев и подумайте, объяснено ли правило для любого объекта, а не только для выбранных примеров.
Делать вывод, который не следует из условия. Правдоподобное продолжение рассуждения часто принимают за доказанный факт. Под каждым шагом назовите его основание: условие, определение, вычисление или предыдущий доказанный вывод; если основания нет, шаг нужно обосновать заново.
До логических рассуждений нужны умения читать математические условия, выполнять вычисления и различать данное и требуемое. Без этого невозможно точно определить, что именно проверять. Поэтому внимательное чтение является частью решения, а не подготовкой к нему.
Логика используется при доказательстве теорем, решении текстовых задач и проверке математических утверждений. Она помогает выбрать нужное условие, заметить противоречие и не подменить доказательство догадкой. Те же приёмы работают в задачах на числа, геометрию и закономерности.
Эта тема подготавливает к доказательству от противного, а также к различению необходимых и достаточных условий. Умение отрицать утверждения и находить контрпример станет основой более сложных доказательств. Поэтому логические шаги полезно формулировать точно уже сейчас.
Как отличить высказывание от вопроса?
Высказывание — это предложение, которому можно однозначно приписать значение «истина» или «ложь». Вопрос просит получить ответ, а не утверждает факт, поэтому высказыванием не является.
Как правильно составить отрицание утверждения со словом «все»?
Слова «все объекты обладают свойством» нужно заменить на «существует хотя бы один объект, который этим свойством не обладает». Отрицание должно утверждать наличие исключения, а не отсутствие свойства у всех объектов.
Почему одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть общее утверждение?
Общее утверждение требует, чтобы правило выполнялось в каждом случае. Если найден хотя бы один подходящий условию объект, для которого вывод неверен, утверждение «для всех» опровергнуто.
Можно ли доказать закономерность, проверив несколько примеров?
Несколько примеров могут заметно поддержать предположение, но не доказывают его для всех случаев. Для доказательства нужно обосновать правило или проверить, что исключений быть не может.
Как понять, что вывод действительно следует из условия?
Нужно указать, на каких данных основан вывод и какое правило связывает их с результатом. Если между условием и заключением есть непроверенный скачок, рассуждение нельзя считать доказанным.
Тренируемся в логике
