Измерение углов

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, у угла AOB вершина — точка O, стороны — лучи OA и OB. Эти названия помогают точно объяснить, какую фигуру мы измеряем или строим.

Градус — единица измерения углов, обозначаемая значком °. Полный оборот разделили на 360 равных частей, одну такую часть приняли за один градус и записали 1°. Поэтому градусы позволяют сравнивать углы и указывать их величину числом. Значок ставят после числа без пробела.

Градусная мера угла — число градусов, которое показывает его величину. Запись ∠AOB = 40° читают так: угол AOB равен 40 градусам. Она сообщает не длину сторон, а то, насколько одна сторона повернута относительно другой. Градусная мера нужна, чтобы точно задавать и сравнивать углы.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов. На его дуге расположена шкала с делениями и числами, а в середине основания отмечен центр. При измерении центр ставят на вершину угла, а по делениям определяют его градусную меру. Для построения угла по шкале находят нужное число и проводят луч через эту отметку.

Как это устроено

Чтобы сравнивать углы, нужна общая единица измерения. Ею стал градус: полный оборот вокруг точки мысленно делят на 360 одинаковых частей. Число 360 удобно для деления на разные равные группы, поэтому градусами можно выразить и весь оборот, и его части. Чем больше частей поворота занимает угол, тем больше его градусная мера.

Шкала транспортира размечена делениями, а числа на ней показывают градусы. На инструменте обычно напечатаны две шкалы: одна увеличивается слева направо, другая — справа налево. Они нужны потому, что сторона угла, с которой начинают измерение, может быть направлена в любую сторону. Благодаря двум шкалам отсчёт можно вести от нуля у выбранной стороны.

Перед измерением положите транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла. Затем совместите прямой край транспортира, где находится нулевая отметка, с одной стороной угла. Такое положение задаёт начало отсчёта: если центр сдвинут, шкала измеряет угол не из его вершины, а если край перекошен, отсчёт идёт не от стороны. Проверьте оба совпадения, прежде чем читать числа.

Выберите шкалу, у которой ноль находится у стороны, вдоль которой лежит край транспортира. Далее найдите место, где вторая сторона угла пересекает дугу шкалы, и прочитайте число напротив него. Если луч заканчивается до дуги, его можно мысленно продолжить: направление стороны остаётся тем же. Эта проверка шкалы особенно важна, потому что в одном месте на двух шкалах могут стоять разные числа.

После отсчёта оцените, похож ли результат на сам угол. Прямой угол равен 90°, а развернутый — 180°; с ними удобно сравнить измеренную величину. Если угол явно меньше прямого, ответ должен быть меньше 90°, а если он больше прямого, но меньше развернутого, — между 90° и 180°. Такое сравнение помогает заметить ошибку в выборе шкалы.

Ориентиры для определения величины угла

Сначала сравните угол с прямым, а затем при необходимости — с развернутым. Так можно примерно определить вид угла ещё до точного измерения. Таблица также помогает проверить, подходит ли полученное число его внешнему виду.

Разбор задач

Задача 1. Измерьте угол, изображённый в тетради, если одна его сторона направлена вправо от вершины. Нужно совместить транспортир с углом и выбрать шкалу, начинающуюся от этой стороны. Угол может быть любым, поэтому значение считывают по рисунку на шкале, а не определяют только по направлению лучей.

1. Поставьте центр транспортира точно на вершину угла.
2. Расположите край транспортира вдоль стороны, направленной вправо, так, чтобы у неё оказалась отметка 0°.
3. Посмотрите, где вторая сторона пересекает шкалу, и считайте число именно на той шкале, которая начинается с нуля у правой стороны.

Ответ: градусная мера равна числу градусов у пересечения второй стороны со шкалой. Например, если она проходит через отметку 40°, угол равен 40°. Перед записью проверьте, что отсчёт начат от нуля справа, а не от нуля противоположной шкалы.

Задача 2. Измерьте угол, стороны которого направлены влево и вверх, и определите, острый он или тупой. Здесь важно не угадывать по словам «влево» и «вверх»: величина зависит от раскрытия между лучами. Сначала измерьте угол, а потом сравните полученное значение с 90°.

1. Совместите центр транспортира с вершиной угла.
2. Поверните инструмент так, чтобы его нулевая отметка легла на сторону, направленную влево.
3. Выберите шкалу, где у левой стороны стоит 0°, и прочитайте число на пересечении с верхней стороной.
4. Если число меньше 90°, угол острый; если оно больше 90°, но меньше 180°, угол тупой.

Ответ: тип угла определяют сравнением измерения с 90°. Например, результат 120° означает, что угол тупой. Если получилось меньше 90°, он острый; в сомнительном случае проверьте расположение центра и выбранную шкалу.

Задача 3. Постройте угол величиной 125° с заданной вершиной и одной заданной стороной. Поскольку 125° больше 90°, но меньше 180°, заранее можно ожидать тупой угол. Вторую сторону нужно провести через отметку 125° так, чтобы луч начинался именно в заданной вершине.

1. Поставьте центр транспортира на заданную вершину, а его край совместите с заданной стороной.
2. Найдите шкалу, у которой нулевая отметка находится на заданной стороне, и поставьте точку напротив 125°.
3. Уберите транспортир и с помощью линейки проведите луч из вершины через отмеченную точку.
4. Проверьте, что новый угол больше прямого и что луч начинается в вершине.

Ответ: построенный угол равен 125° и является тупым. Если случайно выбрать другую шкалу, получится другое значение, поэтому перед проведением луча сверьте положение 0°. Линия, проходящая через отметку, должна быть лучом с началом в вершине, а не отдельным отрезком.

Типичные ошибки

Если центр транспортира не совпал с вершиной, измерение начинают не из той точки, и число получается неверным. Так случается, когда ориентируются только на край инструмента и забывают про его центр. Проверьте, лежит ли вершина точно на центральной отметке, прежде чем считывать градусы.

Если нулевая отметка не совпала со стороной угла, отсчёт начинается от произвольного направления. Ошибку легко допустить, когда транспортир сдвигают или кладут его край наугад. Убедитесь, что сторона проходит через отметку 0°, а не просто касается основания инструмента.

Чтение по другой шкале даёт неверный результат, хотя транспортир может лежать правильно. Причина — две шкалы с противоположным направлением отсчёта: числа в одном месте отличаются. Найдите шкалу, у которой 0° расположено у совмещённой стороны, и сравните ответ с прямым углом.

При построении иногда проводят линию через нужную отметку, но не начинают её в вершине. В результате получается не сторона угла, а отдельный отрезок или прямая. Проверьте начало нового луча: оно должно совпасть с заданной вершиной, а сама линия должна пройти через отметку выбранного числа.

Связь с другими темами

Для измерения углов пригодятся знания о луче, его начале и направлении. Нужно уметь распознавать вершину и стороны угла, а также пользоваться линейкой, чтобы проводить прямые лучи. Без этих навыков сложно правильно совместить транспортир и построить новую сторону.

Умение измерять углы используют при построении геометрических фигур и решении задач, где требуется найти или сравнить углы. Транспортир помогает точно выполнить построение, а знание прямого и развернутого углов — проверить результат. Это связывает работу с измерительными инструментами с изучением геометрических фигур.

Что запомнить

• Углы измеряют в градусах.
• Градусную меру записывают числом со знаком °.
• При измерении центр транспортира совмещают с вершиной угла.
• Нулевую отметку шкалы совмещают с одной из сторон угла.
• Отсчёт ведут по шкале, у которой 0° находится у совмещённой стороны.
• Прямой угол равен 90°, развернутый — 180°.