Числовые выражения и их значения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 8 + 5 и (18 + 6) : 3 — числовые выражения. Отдельное число тоже может быть выражением, но в нём нет знака действия. Такие записи нужны, чтобы кратко показать вычисление или несколько связанных вычислений.

Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий в выражении. У записи 48 − 17 значение равно 31. Само выражение сообщает, что следует вычислить, а его значение — уже полученный результат. Это различие помогает не путать пример с ответом.

Порядок действий — установленная последовательность выполнения арифметических действий в выражении. Например, в записи 2 + 3 · 4 сначала находят произведение, а потом прибавляют 2. Правила порядка нужны, чтобы разные люди, вычисляя одну запись, получали одинаковый результат. Без них сложное выражение можно было бы понять по-разному.

Скобки — знаки, которые выделяют часть выражения и указывают, какие действия выполнять прежде остальных. В выражении (18 + 6) : 3 сначала складывают числа в скобках. Скобки помогают задать нужную последовательность вычислений, даже если обычные правила поставили бы действия в другом порядке. Поэтому при переписывании их нельзя терять или добавлять без причины.

Как это устроено

Числовое выражение составляют, соединяя числа знаками действий, а при необходимости добавляют скобки. Например, из чисел 8 и 5 со знаком сложения получается 8 + 5. В такой записи числа показывают, с чем работают, а знак сообщает, какое действие нужно выполнить. Отдельное число уже обозначает готовое количество и не указывает на действие между числами.

Значение выражения находят не произвольным вычислением, а последовательностью шагов. Если менять порядок действий, меняется смысл записи и может измениться ответ. Например, в 2 + 3 · 4 можно сначала сложить 2 и 3, а можно умножить 3 на 4: результаты будут разными. Общие правила позволяют однозначно понять выражение без дополнительных пояснений.

В скобках вычисляют раньше потому, что они специально выделяют часть записи как единое целое. Например, в (18 + 6) : 3 сначала нужно получить сумму 24, а затем разделить её на 3. Если убрать скобки, запись 18 + 6 : 3 будет означать другой порядок: сначала деление, потом сложение. Значит, скобки способны изменить ход вычислений и итог.

Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что для этих действий установлен более высокий приоритет. В выражении 36 : 6 + 4 · 3 сперва выполняют деление и умножение, и только затем складывают результаты. У умножения и деления между собой приоритета нет, как нет его и у сложения с вычитанием. Поэтому действия одинакового приоритета выполняют слева направо, не переставляя их местами.

После каждого вычисления полезно переписать оставшуюся часть выражения и поставить знак равенства. Равенство показывает, что исходная запись и полученная после одного шага запись имеют одно и то же значение. Например, 36 : 6 + 4 · 3 = 6 + 4 · 3 = 6 + 12 = 18. Если сохранять все числа и знаки, легко увидеть, какое действие уже выполнено и что осталось посчитать.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей сверху вниз: сперва проверь, есть ли скобки, затем найди умножение и деление, а в конце выполни сложение и вычитание. Если действий одного этапа несколько, иди слева направо. Внутри скобок соблюдай тот же порядок, а после вычислений в скобках переходи к оставшейся части записи.

Разбор задач

Найти значение выражения 48 − 17.

В записи только одно действие — вычитание, поэтому выбирать между несколькими действиями не нужно. Чтобы найти значение выражения, уменьшаем 48 на 17. Проверить результат можно сложением: к разности прибавить вычитаемое и получить 48.

1. Вычитаем 10: 48 − 10 = 38. Это удобный первый шаг, потому что число 17 можно разложить на 10 и 7.

2. Вычитаем оставшиеся 7: 38 − 7 = 31. Мы выполнили всё вычитание, не изменяя его смысл.

3. Проверяем: 31 + 17 = 48. Проверка подтверждает, что вычисление выполнено верно.

Ответ: 31.

Найти значение выражения 36 : 6 + 4 · 3.

Здесь есть деление, умножение и сложение. Нельзя начинать со сложения только потому, что оно стоит левее умножения: деление и умножение имеют более высокий приоритет. Сначала вычислим их слева направо, а затем сложим результаты.

1. Первым стоит деление: 36 : 6 = 6. Переписываем выражение с полученным результатом: 6 + 4 · 3.

2. Теперь выполняем умножение: 4 · 3 = 12. Получаем 6 + 12; сложение оставили на потом, потому что оно имеет меньший приоритет.

3. Выполняем оставшееся действие: 6 + 12 = 18. Проверяем запись: сначала были выполнены оба действия более высокого приоритета, потом сложение.

Ответ: 18.

Найти значение выражения 120 − (36 : (3 + 3) + 14) · 2.

В этом примере есть вложенные скобки: одни находятся внутри других. Поэтому начинаем с самых внутренних, а затем продвигаемся наружу. Когда скобки будут вычислены, останется применить обычный порядок действий: умножение раньше вычитания.

1. Внутри маленьких скобок складываем: 3 + 3 = 6. Записываем результат на их место: 120 − (36 : 6 + 14) · 2.

2. В больших скобках сначала выполняем деление: 36 : 6 = 6. Получаем 120 − (6 + 14) · 2, при этом внешнее умножение пока не трогаем.

3. Находим значение большой скобки: 6 + 14 = 20. Теперь выражение выглядит так: 120 − 20 · 2.

4. Выполняем умножение раньше вычитания: 20 · 2 = 40. Остаётся 120 − 40 = 80.

Ответ: 80.

Типичные ошибки

Первая ошибка — выполнять все действия строго слева направо и начинать сложение или вычитание раньше умножения и деления. Так поступают, когда ориентируются только на расположение знаков и забывают про приоритеты. Проверь себя: сначала отметь действия в скобках, потом умножение и деление, и только затем сложение и вычитание. Например, в 2 + 3 · 4 первым должно быть умножение.

Вторая ошибка — начинать с внешнего действия, хотя внутри скобок ещё ничего не вычислено. Можно увлечься тем, что стоит первым в строке, и пропустить выделенную скобками часть. Перед вычислением проверь, есть ли скобки; если есть, начинай с самой внутренней. После её вычисления перепиши выражение, сохранив остальные знаки.

Третья ошибка — неверно считать действия одного приоритета: пропускать деление или переставлять его с умножением. Причина часто в том, что кажется, будто любое умножение обязательно выполняется раньше любого деления. На самом деле деление и умножение равноправны, поэтому считай их слева направо. Для проверки можно подчеркнуть эти знаки и двигаться по ним по порядку.

Четвёртая ошибка — при переписывании потерять скобки или случайно изменить знак действия. Тогда следующая строка уже будет обозначать другое выражение, и даже верные вычисления приведут не к тому ответу. Сверяй каждую новую запись с предыдущей: меняй только ту часть, которую вычислил, а остальные числа, знаки и скобки оставляй на месте. Особенно внимательно проверяй знак перед скобками и знак между числами.

Связь с другими темами

Для вычисления числовых выражений нужны таблицы сложения и умножения, а также умение выполнять арифметические действия с натуральными числами. Эта тема продолжает работу с отдельными действиями: несколько вычислений соединяются в одну запись, и появляется правило их последовательности. Позже тот же порядок пригодится при вычислении значений формул и решении текстовых задач. Он также поможет разбирать буквенные выражения, где вместо некоторых чисел стоят буквы.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел, знаков действий и, возможно, скобок.
• Значение выражения — результат его вычисления.
• Действия в скобках выполняют первыми.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одного приоритета выполняют слева направо.
• Вычисления сложного выражения записывают по действиям.
• При переписывании выражения нельзя менять его числа, знаки и скобки.