Числовые выражения и их значения

Определения и обозначения

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и, при необходимости, скобок. Например, 18 + 7 · 3 содержит числа, знак сложения и знак умножения. Такая запись нужна, чтобы показать, какие вычисления и в какой последовательности следует выполнить.

Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий, указанных в выражении. Для записи 18 + 7 · 3 значением будет 39. Пока вычисления не закончены, перед нами выражение, а не его окончательный результат.

Порядок действий — правила, определяющие последовательность выполнения операций в выражении. Благодаря этим правилам разные люди получают один и тот же результат. Без них запись с несколькими действиями можно было бы понять по-разному.

Скобки — знаки, которые указывают, какие действия нужно выполнить прежде других. В выражении (18 + 7) · 3 сначала складывают числа в скобках, хотя обычно сложение выполняют после умножения. Поэтому скобки помогают управлять ходом вычислений.

Как это устроено

Числовое выражение получают, соединяя числа знаками арифметических действий: например, 12 + 5, 24 : 6 или 8 · 3 − 4. Отдельное число тоже может рассматриваться как простейшее числовое выражение, но в нём нет действия, которое нужно выполнить. Если знаков несколько, запись показывает не только числа, но и связь между ними.

Значение выражения находят не угадыванием, а последовательным выполнением всех указанных действий. Например, в записи 6 + 4 · 2 сначала нужно получить результат умножения, а затем прибавить его к 6. До завершения вычислений выражение не является ответом, потому что часть действий ещё не выполнена.

Первое правило касается скобок: действие внутри них выполняют раньше действий за скобками. Это нужно потому, что скобки специально выделяют часть выражения и задают ей приоритет. Если в скобках несколько действий, внутри них снова применяют порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

После скобок выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Умножение и деление называют действиями более высокой ступени, потому что они должны быть выполнены раньше сложения и вычитания. Так выражение 10 + 6 : 2 читается как 10 + 3, а не как (10 + 6) : 2.

Действия одной ступени выполняют слева направо. Поэтому в записи 48 : 6 · 2 сначала делят 48 на 6, а затем результат умножают на 2. Скобки могут изменить значение выражения, поскольку меняют очередность: 10 + 6 · 2 = 22, но (10 + 6) · 2 = 32.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуясь таблицей, сначала найдите скобки и выполните действия в них. Затем просмотрите выражение слева направо и выполните умножение и деление, а после этого сложение и вычитание. После каждого шага полезно переписывать оставшуюся часть выражения, чтобы не потерять его исходный порядок.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения 18 + 7 · 3.

В выражении нет скобок, поэтому сравним ступени действий. Умножение имеет более высокий приоритет, чем сложение, значит, начинать со сложения нельзя. Сначала найдём произведение, а затем выполним сложение.

1. 7 · 3 = 21.
2. 18 + 21 = 39.

Ответ: 39. Запись можно прочитать так: 18 + (7 · 3), хотя внутренние скобки обычно не записывают.

Задача 2. Найти значение выражения (18 + 7) · 3.

Скобки заставляют сначала выполнить сложение, хотя сложение обычно стоит ниже умножения по приоритету. После вычисления скобок останется одно умножение. Сравнение с первой задачей показывает, что добавление скобок изменило результат.

1. 18 + 7 = 25.
2. 25 · 3 = 75.

Ответ: 75. Без скобок получилось 39, а со скобками — 75, потому что последовательность действий стала другой.

Задача 3. Найти значение выражения 72 : 8 · 3 − (14 − 5).

Сначала обращаемся к скобкам, поскольку они имеют наивысший приоритет. Затем в оставшейся записи выполняем деление и умножение слева направо, а вычитание оставляем на последний этап. Такой разбор не позволяет случайно выполнить вычитание раньше действий более высокой ступени.

1. 14 − 5 = 9.
2. 72 : 8 = 9.
3. 9 · 3 = 27.
4. 27 − 9 = 18.

Ответ: 18. Обратите внимание: деление и умножение здесь не объединяются в одно действие, а выполняются последовательно слева направо.

Типичные ошибки

Ошибка — выполнять всё строго слева направо, не учитывая ступени действий. Так можно сначала сложить 18 и 7 в выражении 18 + 7 · 3 и получить неверный результат. Проверяйте себя: перед началом вычислений отметьте скобки, затем умножение и деление.

Ошибка — считать, что сложение всегда выполняется раньше вычитания. Эти действия имеют одну ступень, поэтому в выражении 20 − 8 + 3 сначала выполняют вычитание, ведь оно стоит левее. Чтобы проверить решение, прочитайте действия слева направо и не меняйте их местами.

Ошибка — не выполнить действие в скобках первым. Скобки задают приоритет даже для сложения и вычитания, поэтому выражение 5 · (9 − 4) нельзя начинать с умножения. Перед вычислением обведите или мысленно выделите каждую пару скобок.

Ошибка — записать промежуточный результат без скобок и потерять исходный порядок. Например, после замены 7 · 3 на 21 выражение 18 + 7 · 3 нужно превратить в 18 + 21, а не переписывать произвольным образом. Сверяйте каждую новую строку с предыдущей: изменяться должно только уже выполненное действие.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать названия и знаки арифметических действий, таблицу умножения и правила деления. Эти знания позволяют сосредоточиться на порядке вычислений, а не останавливаться на каждом отдельном действии. Если результат кажется неверным, сначала проверьте сами вычисления, а затем порядок действий.

Правила понадобятся при работе с выражениями, содержащими дроби, степени и буквы. В таких записях сохраняется общая идея: сначала выполняют действия с большим приоритетом и учитывают скобки. Умение правильно находить значение числового выражения станет основой для преобразования буквенных выражений.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел и знаков арифметических действий.
• Значение выражения получают после выполнения всех действий.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Затем выполняют умножение и деление.
• После этого выполняют сложение и вычитание.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.