7.2. Как сравнить два угла

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Например, если лучи выходят из точки O, то точка O является вершиной, а каждый луч — стороной. Понимание этих частей помогает правильно накладывать и сравнивать углы.

Сравнение углов — это установление того, равны ли углы или один из них больше другого. Для этого не обязательно знать числа или измерять углы транспортиром. Можно проверить, как они расположатся при наложении. Такое сравнение помогает понять, какой угол раскрывается шире.

Равные углы — это углы, которые при наложении совпадают. Чтобы проверить совпадение, нужно совместить вершины и одну сторону, а затем посмотреть на вторую сторону. Если она тоже совпала, углы равны. Это определение позволяет судить о величине угла, даже когда он нарисован в другом месте.

Если при наложении один угол целиком помещается внутри другого, первый угол меньше, а второй — больше. Здесь «внутри» означает, что обе стороны меньшего угла лежат между сторонами большего. Это правило помогает сравнить углы, когда они не совпадают. Оно показывает, что величина связана с раскрытием между сторонами.

Как это устроено

Чтобы сравнить углы, один из них можно перенести на другой, например с помощью прозрачной бумаги. При переносе нужно сохранить его величину: нельзя сгибать бумагу или менять положение сторон относительно друг друга. Прозрачный лист удобен тем, что через него виден угол, который лежит снизу. Так можно сравнить две фигуры, даже если они начерчены далеко друг от друга.

Сначала совместите вершины углов, а затем направьте одну сторону переносимого угла вдоль стороны второго. Совпадение вершин само по себе недостаточно: вокруг вершины угол можно повернуть по-разному. Общая сторона задаёт направление, относительно которого будут сравниваться оставшиеся стороны. Поэтому такая последовательность делает наложение правильным.

Если после совмещения совпали обе стороны, углы равны. При этом стороны могут иметь разную длину, а сами углы до наложения — находиться в разных местах листа. Длина луча показывает, насколько далеко он проведён, но не то, насколько широко стороны расходятся. Значит, при сравнении нужно смотреть на положение сторон, а не на их концы.

Если стороны не совпали, посмотрите, где находится вторая сторона каждого угла. Угол с меньшим раскрытием целиком окажется между сторонами более широкого угла. Поэтому внутренний угол меньше, а тот, внутри которого он лежит, больше. Так можно установить порядок углов, не пытаясь угадать по их расположению на рисунке.

Наложение позволяет сравнить величины углов непосредственно: одну фигуру как бы прикладывают к другой. Это особенно полезно, если углы изображены в разных местах или лучи у одного длиннее. Перенос не меняет раскрытие угла, потому что сохраняется направление обеих его сторон. В результате сравнивается именно величина угла, а не размер рисунка.

Результат сравнения углов наложением

Сначала найдите в таблице описание того, что получилось при наложении. Затем прочитайте выводы для первого и второго углов в соответствующих столбцах. Следите за тем, какой именно угол оказался внутри: он всегда меньше.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить два угла, изображённых на рисунке

Представим, что на чертеже показаны два угла, и нужно установить, равны ли они. По одному только виду рисунка легко ошибиться, особенно если углы начерчены под разным наклоном. Поэтому перенесём один из них на другой. Нас интересует совпадение сторон после правильного совмещения.

1. Перенесём первый угол на прозрачную бумагу, не сгибая и не растягивая её.
2. Совместим вершину перенесённого угла с вершиной второго и направим одну сторону вдоль стороны второго.
3. Проверим положение оставшихся сторон: если они совпали, углы равны; если нет, определим, какой угол лежит внутри другого.

Так мы сравниваем не наклон углов на листе, а раскрытие между их сторонами. Если обе стороны совпали, ответ — углы равны. Если совпала только одна сторона, нужно продолжить проверку и сравнить вторые стороны.

Задача 2. Углы начерчены в разных местах, стороны одного длиннее

Нужно сравнить углы, вершины которых расположены далеко друг от друга, причём стороны одного угла нарисованы длиннее. Длина лучей может создать впечатление, что этот угол больше, но такое впечатление не является доказательством. Перенесём один угол и будем сравнивать направления сторон. Длину сторон при этом не учитываем.

1. Копией перенесём один угол, сохранив угол между его сторонами.
2. Совместим вершины, затем одну сторону перенесённого угла направим вдоль стороны второго.
3. Сравним оставшиеся стороны и проверим, совпали ли они или одна оказалась между сторонами другого угла.

В результате можно определить, равны углы или один шире другого, несмотря на разное место и длину лучей. Если вторые стороны совпали, углы равны. Если один угол целиком находится внутри другого, меньшим будет именно внутренний угол.

Задача 3. После наложения совпали вершины и одна сторона

Один угол частично закрывает другой: вершины и по одной стороне уже совмещены, а вторые стороны не совпадают. Нужно определить, какой угол больше. Слово «закрывает» ещё не даёт ответа, поэтому внимательно проследим, где проходит каждая вторая сторона. Решение зависит от того, какой угол помещается внутри другого целиком.

1. Оставим вершины совмещёнными, а общую сторону используем как начало отсчёта для сравнения.
2. Посмотрим на промежуток между сторонами каждого угла и выясним, какая пара сторон образует меньшее раскрытие.
3. Проверим, лежат ли обе стороны меньшего угла между сторонами второго угла.

Если угол целиком лежит внутри другого, он меньше, а второй угол больше. Если по положению сторон это определить не получается, нужно проверить, правильно ли направлена общая сторона и действительно ли углы наложены. Ответ обосновывают расположением сторон, а не тем, какой угол выглядит заметнее.

Типичные ошибки

Ошибка: считать большим угол с более длинными сторонами. Так думают, потому что длинные лучи занимают на листе больше места. Но величина угла зависит от раскрытия между сторонами, а не от длины лучей. Проверьте себя наложением: совместите вершины и по одной стороне, затем сравните вторые.

Ошибка: совместить только вершины и сразу сравнить углы. Вокруг общей вершины углы можно повернуть по-разному, поэтому без общей стороны сравнение будет ненадёжным. Совместите одну сторону вдоль другой, а затем проверяйте оставшиеся. Так вы зададите одинаковое направление для сравнения.

Ошибка: решить, что углы равны, потому что совпала одна сторона. Одна общая сторона ещё не показывает, одинаково ли раскрываются углы. Проверьте также вторую сторону: равные углы совпадают обеими сторонами. Если она не совпала, сравните, какой угол помещается внутри другого.

Ошибка: назвать большим угол, который целиком помещается внутри другого. Это путает расположение углов с их величиной: внутренний угол кажется «главным», потому что его хорошо видно. На самом деле он меньше охватывающего угла. Чтобы проверить ответ, ещё раз установите, какой угол лежит между сторонами другого.

Связь с другими темами

Для сравнения нужно знать, что угол состоит из двух лучей, а их общее начало — вершина. Поэтому сначала полезно научиться распознавать лучи, вершину и стороны угла. Сравнение углов пригодится при измерении углов и построении угла заданной величины. Оно также поможет при изучении биссектрисы — луча, который делит угол на две равные части, — и задач о взаимном расположении углов.

Что запомнить

• Углы сравнивают наложением.
• При наложении сначала совмещают вершины и одну сторону.
• Если совпали обе стороны, углы равны.
• Угол, целиком лежащий внутри другого, меньше него.
• Длина сторон не определяет величину угла.