7.1. Угол. Смежные и вертикальные углы

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, лучи с началом O образуют угол с вершиной O. Это определение помогает распознать угол и назвать его части.

Угол можно обозначить одной заглавной буквой, поставленной у вершины, например ∠O. Если углов при одной вершине несколько, используют три буквы: сначала называют точку на одной стороне, затем вершину, потом точку на другой стороне, например ∠AOB. Буква вершины всегда стоит в середине. Так обозначение показывает, о каком именно угле идёт речь.

Смежные углы — два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Противоположные лучи лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Значит, одной общей стороны недостаточно: нужно проверить и положение двух остальных. Это определение позволяет отличить смежные углы от просто соседних.

Вертикальные углы — углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Они появляются при пересечении двух прямых и расположены напротив друг друга. Общей стороны у них нет. По этому признаку можно узнать вертикальную пару и использовать свойство её углов.

Как это устроено

Два луча с общим началом задают угол: один луч можно мысленно оставить на месте, а другой поворачивать вокруг вершины. Чем сильнее поворот, тем больше угол. Длина сторон при этом не задаёт величину: если удлинить лучи, угол не изменится, потому что направление сторон осталось прежним. Поэтому при сравнении углов смотрят на раскрытие между сторонами, а не на длину нарисованных отрезков.

У смежных углов одна сторона общая, а две другие — противоположные лучи. Если пройти от одной внешней стороны до другой через общую сторону, поворот составит половину полного оборота — это развернутый угол. Его стороны лежат на одной прямой, поэтому его градусная мера равна 180°. Так объясняется, почему два смежных угла вместе составляют развернутый угол.

Из этого следует свойство смежных углов: их сумма равна 180°. Если известна величина одного угла, неизвестный находят вычитанием из 180°, ведь два угла вместе должны составить именно эту величину. Например, к углу 65° до 180° не хватает 115°. Проверка простая: сложить найденный угол с известным и убедиться, что получилось 180°.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Углы, расположенные напротив друг друга, вертикальные: стороны одного продолжаются через вершину и становятся сторонами другого. В такой паре величины равны. А углы, стоящие рядом, смежные, поэтому каждый из них вместе с соседним составляет 180°.

Равенство вертикальных углов можно обосновать через смежные. Пусть один из вертикальных углов и угол рядом с ним составляют первую смежную пару, а второй вертикальный угол и тот же соседний угол — вторую. Каждая пара в сумме равна 180°. Значит, оба вертикальных угла равны одному и тому же числу: если из 180° вычесть величину общего соседнего угла, в обоих случаях получится одинаковый результат.

Сравнение смежных и вертикальных углов

Сначала проверь, есть ли у углов общая сторона: если есть, проверь, образуют ли две другие стороны прямую. Если общей стороны нет и стороны углов продолжают друг друга, перед тобой вертикальные углы. Последняя строка таблицы подсказывает, какое действие выбрать: сложение до 180° или равенство величин.

Разбор задач

Задача 1. Один из смежных углов равен 65°. Найти второй угол. Поскольку углы смежные, вместе они образуют развернутый угол. Значит, их сумма равна 180°, и для поиска неизвестного угла нужно вычесть известный из 180°.

1. Обозначим неизвестный угол буквой x.
2. Запишем сумму: x + 65° = 180°.
3. Вычтем 65°: x = 180° − 65° = 115°.
4. Проверим: 65° + 115° = 180°.

Ответ: 115°.

Задача 2. При пересечении двух прямых один угол равен 42°. Найти вертикальный ему угол и оба смежных угла. Сначала используем то, что вертикальные углы равны. Затем найдём каждый смежный с известным: он дополняет 42° до 180°.

1. Вертикальный угол равен известному: 42°.
2. Смежный угол равен 180° − 42° = 138°.
3. Второй смежный с исходным угол тоже равен 138°, так как он составляет с исходным 180°.
4. Проверим: 42° + 138° = 180°; противоположные углы получились равными.

Ответ: вертикальный угол — 42°, два смежных — по 138°.

Задача 3. Два смежных угла относятся как 2:7. Найти их величины. Отношение показывает, что первый угол состоит из двух одинаковых частей, а второй — из семи таких же. Обозначим величину одной части через x и сложим углы: их сумма должна быть 180°.

1. Обозначим углы 2x и 7x.
2. Составим уравнение: 2x + 7x = 180°.
3. Сложим подобные слагаемые: 9x = 180°, поэтому x = 20°.
4. Найдём углы: 2x = 40°, 7x = 140°.
5. Проверим: 40° + 140° = 180°, а отношение 40:140 сокращается до 2:7.

Ответ: 40° и 140°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать смежными любые два угла с общей стороной. Так можно решить, что любая пара соседних углов в рисунке имеет сумму 180°, хотя их свободные стороны могут не лежать на одной прямой. Проверяй, что остальные стороны — противоположные лучи. Если этого условия нет, называть углы смежными нельзя.

Ошибка: путать вертикальные углы со смежными. Они могут казаться соседними на рисунке, но вертикальные стоят напротив друг друга и не имеют общей стороны. Проведи мысленно стороны через вершину: стороны вертикальных углов продолжают друг друга. Общая сторона, наоборот, указывает на возможную смежную пару.

Ошибка: приравнивать смежные углы. Такое равенство бывает только в особом случае, когда оба угла по 90°, а вообще их нужно складывать до 180°. Часто правило о равенстве вертикальных углов по ошибке переносят на все соседние углы. Перед вычислением проверь вид пары и запиши нужную связь: сумма или равенство.

Ошибка: называть вертикальными любые углы, которые просто нарисованы напротив друг друга. Рисунок может быть неточным, поэтому одного зрительного впечатления недостаточно. Проверь, что стороны одного угла являются продолжениями сторон другого, а значит, образованы пересекающимися прямыми. Если условие не выполняется, свойство вертикальных углов применять нельзя.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое луч, прямая и точка пересечения, а также уметь читать градусную меру угла. Понадобится и понятие развернутого угла: он равен 180° и помогает понять связь смежных углов. Если эти понятия знакомы, можно определять виды углов и находить неизвестные величины.

Свойства смежных и вертикальных углов пригодятся при решении уравнений, в которых неизвестными являются величины углов. Они помогают рассуждать о пересекающихся прямых, а позднее — изучать параллельные прямые. Эти правила также используют в геометрических доказательствах: равенство или сумма углов становится шагом к выводу о других свойствах фигур.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало сторон угла называют вершиной.
• Смежные углы имеют общую сторону, а их другие стороны — противоположные лучи.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Вертикальные углы образованы продолжениями сторон друг друга.
• Вертикальные углы равны.