"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Угол — геометрическая фигура, которая показывает, насколько разошлись два луча с общим началом. Он нужен, чтобы описывать повороты и форму фигур, сравнивать их части и строить чертежи. У угла есть вершина и две стороны-луча. Углы можно сравнивать наложением: если они совпадают, то равны; если один помещается внутри другого, он меньше. Для этого важно совместить вершины и одну сторону, а затем посмотреть, где расположена вторая сторона.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол показывает, насколько разошлись стороны, поэтому он помогает описывать повороты и форму фигур. Например, два луча могут расходиться широко или почти лежать один на другом.
Вершина — общая начальная точка сторон угла. Если лучи OA и OB начинаются в точке O, то O — вершина угла. Она нужна, чтобы правильно называть и обозначать фигуру. В записи ∠AOB буква O стоит в середине, потому что именно она указывает вершину.
Стороны угла — лучи, выходящие из его вершины. В угле ∠AOB это лучи OA и OB. Стороны задают направление раскрытия угла, но их длина не определяет, большой угол или маленький. Поэтому при сравнении смотрят на положение лучей, а не на то, насколько далеко они нарисованы.
Знак ∠ обозначает угол, а три заглавные буквы помогают назвать его вершину и стороны. Например, ∠AOB и ∠BOA обозначают один и тот же угол, если его стороны — лучи OA и OB. Буква вершины должна стоять в середине обозначения. Это правило нужно, чтобы не перепутать угол с другими фигурами и понять, какие лучи его образуют.
Два луча с общим началом образуют угол, потому что из одной точки можно провести разные направления. Именно различие направлений создаёт раскрытие между сторонами. Если лучи направлены почти одинаково, угол выглядит узким; если они расходятся сильнее, он выглядит шире. Такое раскрытие и сравнивают, когда говорят о величине угла.
Сравнивать углы удобно наложением, потому что тогда их положение на листе и длина сторон не мешают сравнению. Сначала совмести вершины углов. Затем совмести одну сторону первого угла с одной стороной второго так, чтобы лучи смотрели в одну сторону. После этого сравни положение оставшихся сторон: именно они показывают, какой угол раскрыт сильнее.
Если вторые стороны после совмещения тоже совпали, углы равны. Совпадение означает, что у них одинаковое раскрытие, даже если один угол был нарисован в другом месте или его стороны были длиннее. Если одна из вторых сторон лежит между общей стороной и второй стороной другого угла, меньший угол целиком помещается внутри большего. Значит, первый угол меньше, а второй больше.
Чтобы выполнить наложение, не обязательно вырезать угол из листа. Можно аккуратно перерисовать его на прозрачную бумагу, сохранив вершину и направления сторон, а затем приложить рисунок к другому углу. Это помогает, когда углы расположены далеко друг от друга или их трудно совместить на обычной странице. При переносе важно не менять направление сторон: иначе получится уже другой угол.
На чертеже длина лучей может быть разной, хотя углы равны. Это происходит потому, что луч можно продолжать сколько угодно, не меняя его направления. Поэтому сравнение только по длине нарисованных сторон даёт неверный результат. Сначала мысленно или с помощью наложения совмести вершины и стороны, а затем оценивай раскрытие.
| Что получилось при наложении | Как соотносятся углы | Как это понять |
|---|---|---|
| Вторые стороны совпали | Углы равны | Раскрытие одинаковое |
| Сторона первого угла оказалась внутри второго | Первый угол меньше второго | Первый целиком помещается внутри |
| Сторона второго угла оказалась внутри первого | Второй угол меньше первого | Второй целиком помещается внутри |
Пользуйся таблицей после того, как совместишь вершины и по одной стороне каждого угла. Найди в первом столбце то, что увидел при наложении, и прочитай соответствующий вывод. Не сравнивай углы по длине сторон или по тому, как они расположены на странице.
Задача. Угол AOB сравнивают с углом KLM. При наложении вершины O и L совместили, а стороны OA и LK направили одинаково. После этого сторона OB оказалась между общей стороной и стороной LM. Какой угол меньше? Обоснуем ответ через положение вторых сторон: при наложении именно оно показывает, насколько раскрыты углы.
Ответ: ∠AOB меньше ∠KLM. Здесь не требуется измерять углы или сравнивать длину лучей: вывод следует из того, что после наложения один угол оказался внутри другого. Если бы вторые стороны совпали, углы были бы равны. Если бы внутри оказался угол KLM, меньшим был бы он.
Ошибка: сравнивать углы по длине их сторон. Так делают, потому что длинные лучи заметнее и чертёж кажется крупнее. Но лучи можно продолжить, не меняя направления, поэтому длина не определяет раскрытие. Проверь себя: совмести вершины и по одной стороне, а затем сравни оставшиеся стороны.
Ошибка: накладывать углы, не совместив вершины. Тогда положение фигур на листе может создать впечатление, будто один угол шире. Чтобы этого избежать, сначала помести вершину одного угла точно на вершину другого. Если вершины не совпали, сравнение ещё не выполнено.
Ошибка: сравнивать углы, направив общие стороны в разные стороны. При таком наложении трудно понять, какая вторая сторона лежит внутри другого угла. Проверь, что совмещённые лучи идут в одном направлении от общей вершины. После этого сравни положение оставшихся сторон.
Ошибка: путать вершину с буквой, стоящей первой или последней в названии. Например, в ∠ABC вершина — B, а не A или C. Это происходит, если забыть правило записи. Для проверки найди букву посередине: она обозначает общую точку, из которой выходят обе стороны.
Углы помогают описывать геометрические фигуры: у треугольников и других многоугольников есть вершины и стороны, которые образуют углы. Умение сравнивать углы пригодится, когда нужно определить форму фигуры или сопоставить её части. Угол также связан с поворотом: чем сильнее поворот, тем больше раскрытие между начальным и конечным направлениями. Позже углы можно будет измерять и строить с помощью специальных инструментов.
§ 7. Угол. Сравнение углов
