Как измерить угол

Определения и обозначения

Градусная мера угла — число, показывающее, сколько градусов содержится в угле. Например, запись 48° означает, что величина угла составляет 48 градусов. Градусная мера нужна, чтобы сравнивать углы и точно указывать их величину, а не описывать её словами «маленький» или «широкий».

Градус — единица измерения углов; полный оборот разделён на 360 равных частей. Один такой кусочек оборота принимают за один градус и обозначают знаком °. Эта единица позволяет выражать величину угла числом и одинаково понимать результат измерения.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов в градусах. На его шкале нанесены отметки, а в середине основания обычно обозначен центр. Транспортир нужен, чтобы определить градусную меру уже начерченного угла или провести луч под заданным углом.

Острый, прямой, тупой и развёрнутый углы — виды углов, различаемые по их градусной мере. Например, прямой угол равен 90°, а развёрнутый — 180°. Название вида помогает быстро оценить, верно ли измерен угол, и выбрать подходящий способ построения.

Как это устроено

Полный оборот принимают за 360°, потому что его удобно разделить на равные части и измерять поворот числом таких частей. Исторически для этого закрепилось деление на 360 частей; для школьных измерений важно, что каждая часть — одинаковая единица. Поэтому половина оборота составляет 180°, а четверть — 90°, что даёт знакомые ориентиры для сравнения углов.

Чтобы измерить угол, сначала положите транспортир на чертёж так, чтобы его центр совпал с вершиной угла. Нулевую отметку совместите с одной стороной, а основание транспортира расположите вдоль этой стороны. Такое положение задаёт начало отсчёта: измеряется поворот от первой стороны к другой, а не расстояние между ними.

На транспортире обычно есть две шкалы, которые отсчитывают градусы в противоположных направлениях. Выберите ту, где ноль находится у стороны, с которой вы начали измерение: тогда число у второй стороны показывает нужный поворот. Если читать противоположную шкалу, получится другое число, хотя положение угла не менялось; поэтому сначала найдите именно отметку 0° у стороны.

Запишите результат числом со знаком градуса, например 48°. Затем проверьте, подходит ли он виду угла: острый меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°. Эта проверка помогает заметить ошибку со шкалой или расположением транспортира, хотя сама по себе не заменяет точного измерения.

Чтобы построить угол заданной меры, проведите первый луч и отметьте на нём вершину. Поставьте центр транспортира в вершину, а нулевую отметку совместите с первым лучом; на нужной шкале найдите заданное число и поставьте отметку. Уберите транспортир и проведите из вершины второй луч через отметку: направление этого луча задаст требуемый угол.

Виды углов и их градусные меры

Сначала сравните измеренную величину с 90° и 180°, чтобы определить вид угла. Границы важны: угол ровно 90° — прямой, а ровно 180° — развёрнутый, поэтому они не относятся к соседним видам.

Разбор задач

Задача 1. Вершина угла совмещена с центром транспортира, одна сторона направлена на отметку 0°, а другая проходит через отметку 48°. Чтобы измерить угол, нужно отсчитать поворот от стороны, совпавшей с нулём. Значит, следует читать шкалу, которая начинается с нуля именно у этой стороны.

1. Находим нулевую отметку, совпадающую со стороной угла. Это начало отсчёта, поэтому противоположную шкалу пока не используем.
2. Смотрим, через какую отметку проходит вторая сторона. Она указывает на 48° по выбранной шкале.
3. Записываем результат с обозначением единицы измерения. Получаем градусную меру угла 48°.

Ответ: 48°. Значение меньше 90°, поэтому угол острый. Такая проверка согласуется с тем, как выглядит угол.

Задача 2. Постройте угол величиной 125° с помощью транспортира. Сначала нужно задать одну сторону угла, а затем определить направление второй. Поскольку 125° больше 90°, строящийся угол будет тупым.

1. Проведите луч и выберите на нём точку, которая станет вершиной угла. Положите транспортир так, чтобы его центр совпал с этой точкой, а нулевая отметка — с лучом.
2. На шкале, начинающейся от нуля у первого луча, найдите отметку 125°. Поставьте там небольшую отметку карандашом.
3. Уберите транспортир и проведите из вершины луч через отмеченную точку. Полученный угол между лучами равен 125°.

Ответ: построен угол 125°. Перед завершением можно проверить, что выбранная шкала начиналась с нуля у первого луча. Так не получится случайно построить угол другого размера.

Задача 3. Угол ABC равен 136°, а луч BD делит его на два угла; угол ABD равен 52°. Нужно найти угол DBC. Луч BD проходит внутри угла ABC, поэтому целый угол складывается из двух частей: ABD и DBC. Чтобы найти неизвестную часть, из меры целого угла вычтем известную.

1. Запишем равенство: ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC. Оно показывает, как связаны целый угол и его части.
2. Подставим известные значения: 136° = 52° + ∠DBC. Неизвестная часть равна разности целого угла и известной части.
3. Вычтем: ∠DBC = 136° − 52° = 84°. Проверим сложением: 52° + 84° = 136°.

Ответ: ∠DBC = 84°. Проверка подтверждает, что обе части вместе дают исходный угол ABC. Полученная мера меньше 90°, значит, угол DBC острый.

Типичные ошибки

Если совместить с вершиной край транспортира, а не его центр, отсчёт начнётся не из точки, где стороны угла встречаются. Так часто делают, потому что край кажется удобным ориентиром. Проверьте, что вершина попала точно на центральную отметку инструмента; иначе измерение нужно повторить.

Иногда отсчёт начинают не от нуля на стороне угла, а от ближайшего к ней числа. Это происходит, когда ученик не замечает начало шкалы или торопится считывать результат. Перед чтением найдите отметку 0° у совмещённой стороны и считайте от неё до второй стороны.

Две шкалы транспортира направлены в разные стороны, поэтому можно случайно прочитать число по противоположной шкале. В таком случае угол иногда выглядит острым, а записанное значение оказывается тупым, или наоборот. Сверьте выбранную шкалу с нулём у первой стороны и дополнительно проверьте результат по виду угла.

Градусную меру иногда принимают за длину сторон: будто длинные стороны образуют больший угол. Ошибка возникает из-за того, что длинные линии заметнее на чертеже. Продлите или укоротите стороны по тем же направлениям: величина угла останется прежней, потому что зависит от направлений лучей, а не от их длины.

Связь с другими темами

Для измерения нужно знать, что угол образован двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а сами лучи — его сторонами; их распознавание помогает правильно приложить транспортир. Без этого легко спутать вершину с точкой на стороне или выбрать не ту сторону для начала отсчёта.

Измерение углов пригодится при построении геометрических фигур, когда нужно задать точное направление стороны. Оно также помогает решать задачи на сложение и вычитание углов: если луч делит угол на части, меры частей складываются, а неизвестную часть находят вычитанием. Так измерения связываются с черчением и вычислениями.

Что запомнить

• Единица измерения угла — градус, обозначение — °.
• Полный оборот равен 360°.
• Прямой угол равен 90°, развёрнутый — 180°.
• У острого угла градусная мера меньше 90°.
• У тупого угла градусная мера больше 90°, но меньше 180°.
• При измерении центр транспортира совмещают с вершиной угла.
• Градусная мера угла не зависит от длины его сторон.