Как сравнить углы

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называют вершиной угла, а сами лучи — его сторонами. Например, если лучи выходят из точки O, точка O является вершиной. Это определение помогает понять, какие именно части фигур нужно совмещать при сравнении.

Величина угла — характеристика того, насколько расходятся его стороны. Она не зависит от длины лучей и от положения угла на листе. Если стороны одного угла раскрыты шире, чем стороны другого, первый угол больше. Это понятие нужно, чтобы сравнивать углы по их форме, а не по размеру рисунка.

Равными называют углы, которые при наложении полностью совпадают. Если один угол можно совместить с другим так, что совпадут вершины и обе стороны, их величины одинаковы. Обозначения ∠A и ∠B используют, когда нужно кратко назвать углы. Сравнение помогает установить, равны ли они, или определить, какой угол больше.

Как это устроено

Сравнивать углы удобно наложением, потому что так можно проверить, совпадают ли их раскрытия. Сначала один угол мысленно или с помощью прозрачной бумаги переносят к другому. Затем совмещают вершины и по одной стороне, причём совпадающие стороны должны смотреть в одну сторону. Если этого не сделать, можно сравнить разные положения сторон и ошибиться.

После совмещения одной стороны смотрят на вторую. Если и вторые стороны совпадают, углы равны: ни один не раскрывается шире другого. Если вторая сторона одного угла проходит внутри другого, меньший угол целиком помещается в большем. Так положение лучей наглядно показывает, какой угол больше, без подсчётов и специальных единиц.

Угол можно повернуть или перенести, не меняя его величины. При повороте обе стороны перемещаются вместе, поэтому расстояние раскрытия между ними остаётся прежним. По этой причине углы можно сравнивать, даже если на рисунке они направлены в разные стороны. Важно совместить вершины и одну сторону, а не пытаться оценить угол по его наклону.

Длина сторон на чертеже не показывает величину угла. Лучи могут быть длинными или короткими, но образовывать одинаковое раскрытие. Представь, что у двери меняется положение створки: от длины двери раскрытие не зависит, его задаёт поворот створки относительно неподвижной части. Поэтому при сравнении нужно следить за направлением сторон.

Если углы трудно совместить мысленно, их можно измерить транспортиром. Транспортир прикладывают центром к вершине, а его основание совмещают с одной стороной угла. Число на шкале, у которого проходит вторая сторона, показывает величину угла в градусах. Тогда достаточно сравнить полученные числа: большее число соответствует большему углу.

Способы сравнения углов

Для точного сравнения сначала попробуй наложение: оно показывает, как углы расположены один относительно другого. Измерение транспортиром удобно, когда фигуры нельзя перенести или требуется численный результат. Оценка раскрытия помогает быстро предположить ответ, но при близких углах лучше проверить его одним из первых двух способов.

Разбор задач

Задача. Даны два угла: у первого стороны образуют более широкое раскрытие, у второго — более узкое. Нужно определить, какой угол больше, не измеряя их и не ориентируясь на длину сторон. На рисунке углы могут быть повёрнуты по-разному, поэтому сравнивать только их положение нельзя. Проверим результат наложением.

1. Назовём углы α и β. Сначала мысленно перенесём угол β к углу α, не растягивая и не сжимая его. Перенос нужен лишь для удобного сравнения: он не меняет раскрытие угла.
2. Совместим вершины углов, затем совместим по одной стороне. Будем считать, что стороны направлены одинаково. Теперь сравнение идёт от общей вершины и общей стороны, поэтому положение углов на листе не мешает.
3. Посмотрим на оставшиеся стороны. Сторона угла β лежит внутри угла α, значит, β целиком помещается в α. Следовательно, раскрытие α шире, чем раскрытие β.
4. Проверим, не повлияла ли длина лучей на решение. Она не учитывалась: мы сравнивали только направление сторон. Значит, вывод сделан именно о величинах углов.

Ответ: угол α больше угла β, а угол β меньше угла α. Если бы после совмещения совпали и вторые стороны, углы были бы равны. Если рисунок не позволяет уверенно увидеть, какая сторона лежит внутри, углы можно измерить транспортиром. Тогда сравнивают значения в градусах, а не длины сторон.

Типичные ошибки

• Сравнивать по длине сторон. Иногда длинные лучи кажутся признаком большего угла, потому что фигура занимает больше места на листе. Но длины лучей не задают раскрытие. Чтобы проверить себя, мысленно укороти стороны: величина угла останется прежней.
• Сравнивать углы, не совмещая вершины. При разных положениях рисунков один угол может выглядеть шире, хотя это впечатление обманчиво. Ошибка возникает из-за наклона и размещения фигур. Перед выводом совмести вершины и одну сторону.
• Направить совпадающие стороны в разные стороны. Тогда сравнение вторых сторон не покажет, какой угол лежит внутри другого. Это случается, когда при наложении не следят за направлением лучей. Проверь, что общая сторона начинается в общей вершине и направлена одинаково.
• Считать, что больший рисунок означает больший угол. Большая площадь между дугами или длинные штрихи могут отвлекать от раскрытия. Размер изображения зависит от того, как его начертили. Надёжная проверка — наложение углов или измерение транспортиром.

Связь с другими темами

Сравнение углов опирается на знакомые действия с геометрическими фигурами: их можно перемещать и поворачивать, сохраняя форму. Оно пригодится при изучении видов углов и измерении углов транспортиром. Позже сравнение поможет разбирать чертежи и свойства геометрических фигур, например определять, какие углы в них равны. Навык также учит отделять свойства самой фигуры от особенностей её изображения.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом; это начало — вершина.
• Величина угла зависит от раскрытия между сторонами, а не от их длины или положения на листе.
• Для сравнения наложи углы, совмести вершины и по одной стороне, направив её одинаково.
• Совпадение вторых сторон означает равенство; сторона внутри другого угла показывает, что он меньше.
• Если сравнить наложением трудно, измерь углы транспортиром и сопоставь числа градусов.