Учимся решать задачи

Определения и обозначения

Условие задачи — сведения и отношения между величинами, которые заданы в задаче. Например, можно узнать, сколько предметов было и сколько взяли; первое число известно, а оставшееся количество пока неизвестно. Разделение данных и неизвестного помогает не спутать то, что дано, с тем, что требуется вычислить.

Вопрос задачи — указание, какую величину или значение нужно найти. Он направляет решение: если спрашивают, сколько осталось, нужно искать оставшееся количество, а не только вычислять разность ради самой разности. Соотнеси вопрос с данными условия, чтобы понять, каких сведений достаточно и что предстоит узнать.

Решение задачи — последовательность действий, которая приводит от данных условия к ответу. Каждое действие должно быть обосновано: нужно понимать, какую величину оно находит и почему выбранное вычисление подходит. Это позволяет проверить ход рассуждений и заметить ошибку, если дальнейший шаг не связан с вопросом.

Ответ задачи — результат решения, сформулированный в соответствии с вопросом и с указанием нужных единиц измерения. Если искали число карандашей, запиши не только число, но и слово «карандашей». Такой ответ сразу показывает, что именно найдено и в каких единицах выражена величина.

Как это устроено

Решение начинается с внимательного чтения условия, потому что отдельные числа сами по себе ещё не говорят, что с ними делать. Представь ситуацию и выдели, что известно и что требуется узнать. Если вопрос неясен, перечитай условие и попробуй пересказать его своими словами: так проще заметить важные отношения между величинами.

Краткая запись, таблица или схема нужны не для красоты, а чтобы упорядочить сведения. В них можно рядом показать известные значения и неизвестное, обозначить, как величины связаны, или изобразить изменение количества. Благодаря этому легче увидеть, каких данных не хватает для ответа и какие числа относятся друг к другу.

Действие выбирают по смыслу отношений между величинами. Например, когда часть предметов убрали из общего количества, вычитание находит остаток; когда известна цена нескольких одинаковых вещей, деление помогает найти цену одной. Перед вычислением объясни, что именно будет найдено: такое пояснение не даёт подменить нужное действие случайным.

Если задача сложная, разбей её на шаги, потому что главный ответ может зависеть от величины, которая пока неизвестна. Сначала найди эту промежуточную величину, а затем используй её вместе с другими данными. План должен вести к главному вопросу, а не останавливаться на первом полученном числе.

После вычислений проверь результат: вычислительная правильность ещё не гарантирует, что решена именно поставленная задача. Сравни число с вопросом и условием, оцени, правдоподобно ли оно, и проверь единицы измерения. Если спрашивали количество предметов, ответ в рублях или просто без пояснения не подходит.

Этапы решения задачи

Пользуйся таблицей как маршрутом: переходи к следующему этапу, когда понимаешь результат предыдущего. Если на каком-то шаге связь между величинами неясна, вернись к условию и уточни запись. В конце обязательно проверь не только вычисления, но и формулировку ответа.

Разбор задач

Задача 1. В коробке было 18 карандашей. 7 карандашей взяли. Сколько карандашей осталось?

1. В условии известно начальное количество — 18 карандашей, а 7 карандашей убрали. Вопрос относится к тому, что осталось после этого изменения. Значит, количество уменьшилось, поэтому нужно вычесть взятые карандаши из тех, что были.

2. Вычислим: 18 − 7 = 11. Проверим смысл результата: после того как часть карандашей убрали, остаток должен быть меньше 18, и 11 этому условию соответствует.

Ответ: осталось 11 карандашей.

Задача 2. За 4 одинаковые тетради заплатили 160 рублей. Сколько стоят 7 таких тетрадей?

1. Сначала нужно узнать цену одной тетради: без неё нельзя определить стоимость семи. Так как 160 рублей заплатили за 4 одинаковые тетради, сумму делим на количество тетрадей: 160 ÷ 4 = 40 рублей. Получили цену одной тетради.

2. Теперь найдём стоимость 7 тетрадей: каждая стоит 40 рублей, значит, нужно умножить цену на количество. 40 × 7 = 280 рублей. Проверка показывает, что сумма за семь тетрадей больше, чем за четыре, как и должно быть.

Ответ: 7 тетрадей стоят 280 рублей.

Задача 3. В двух автобусах 86 пассажиров. После того как из первого автобуса 8 пассажиров перешли во второй, пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом автобусе сначала?

1. Обозначим количество пассажиров в первом автобусе сначала через x, а во втором — через y. Всего их 86, поэтому x + y = 86. После перехода в первом стало x − 8, а во втором — y + 8; по условию эти количества равны.

2. Чтобы получить равное количество, в первом автобусе сначала должно было быть на 16 пассажиров больше: он потерял 8, а второй одновременно получил 8. Значит, x − y = 16. Теперь нужно разделить общее количество 86 на две части, разность которых равна 16: к 86 прибавим 16 и разделим пополам, получим x = 51.

3. Во втором автобусе было 86 − 51 = 35 пассажиров. Проверим: после перехода в первом будет 51 − 8 = 43, а во втором 35 + 8 = 43. Количество пассажиров в сумме сохраняется: 51 + 35 = 86.

Ответ: сначала в первом автобусе было 51 пассажир, во втором — 35 пассажиров.

Типичные ошибки

Начать вычисления до того, как понят смысл условия. Это случается, когда ученик видит числа и сразу выбирает знакомое действие, не выяснив, как связаны величины. В результате можно, например, сложить то, что нужно сравнить или вычесть. Перед вычислением назови, что известно, что спрашивают и какую величину найдёт выбранное действие.

Использовать все числа без проверки их роли. Кажется, что каждое число обязательно нужно подставить в вычисление, хотя оно может понадобиться позже или не относиться к вопросу напрямую. Из-за этого появляются лишние действия и неверные результаты. Для каждого числа поясни, что оно означает и на каком шаге используется.

Принять промежуточную величину за ответ. В многошаговой задаче сначала находят значение, нужное для дальнейших вычислений, и останавливаются на нём. Так происходит, если не сверяться с главным вопросом. После каждого шага перечитай вопрос и проверь, получена ли именно требуемая величина.

Записать число без единицы измерения или пояснения. Одно число может обозначать рубли, метры или количество предметов, поэтому запись без уточнения бывает неполной. Ошибка часто возникает, когда сосредотачиваются только на вычислении. Проверь, какие единицы были в условии, и сформулируй ответ словами, чтобы было понятно, что найдено.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны навыки арифметических действий, внимательное чтение условия и понимание обозначений величин и единиц измерения. Если деление, умножение или вычитание выполняются уверенно, проще сосредоточиться на связях между данными. Умение анализировать условие и строить план пригодится в задачах на движение, работу, покупки, дроби и проценты: в каждой из них важно определить, какие величины связаны и в каком порядке их находить.

Что запомнить

• Сначала пойми условие, потом выбирай действия.
• Отделяй известные данные от того, что требуется найти.
• Схема или краткая запись помогают увидеть связи между величинами.
• Каждое действие в решении должно быть обосновано.
• В сложной задаче сначала находи необходимые промежуточные величины.
• Проверяй, отвечает ли результат на вопрос задачи.
• Записывай ответ с пояснением и нужными единицами.