Поупражняемся в измерении и сравнении углов

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Например, если лучи OA и OB выходят из точки O, то O — вершина, а OA и OB — стороны. Эти названия помогают точно описывать угол и понимать, какие части чертежа нужно совместить или измерить.

Градусная мера угла — число, показывающее, сколько градусов содержит угол. Её записывают числом со знаком градуса: например, ∠AOB = 40° означает, что угол AOB имеет меру 40 градусов. Обозначение ∠ читают «угол», а буквы обычно называют в порядке «сторона — вершина — сторона». Градусная мера нужна, чтобы сравнивать углы численно и задавать их величину.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов. На его шкале нанесены деления с числами, показывающими градусную меру, а центр обычно отмечен точкой или небольшим штрихом. Сначала транспортир устанавливают по вершине и одной стороне, а затем используют шкалу для отсчёта или нанесения отметки. Если расположить центр неточно, полученное значение может не совпасть с величиной угла.

Сравнение углов — установление того, какой из них больше, меньше или равен другому. Это можно сделать наложением углов либо сравнением их градусных мер. При наложении сравнивают раскрытие, а при измерении — числовые значения. Оба способа отвечают на один вопрос, но измерение позволяет также записать точную меру угла.

Как это устроено

Наложение помогает сравнить углы напрямую, потому что при совмещении их вершин и одной стороны видно, насколько расходятся остальные стороны. Если вторая сторона одного угла лежит дальше от совмещённой стороны, этот угол раскрыт шире и он больше. Если стороны совпали, углы равны. Такой способ удобен, когда углы можно аккуратно перенести или когда нужно быстро оценить их без числового измерения.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала совместите центр инструмента с вершиной, а нулевую отметку — с одной стороной угла. Затем найдите на шкале число у места, где её пересекает вторая сторона. Такая установка нужна потому, что деления отсчитывают поворот именно от вершины, начиная с выбранной стороны. Если центр сдвинут или начало шкалы не совпало со стороной, отсчёт будет относиться не к тому углу.

У большинства транспортиров две шкалы с противоположными направлениями отсчёта: на одной числа возрастают слева направо, на другой — справа налево. Поэтому сначала найдите, у какого края расположена нулевая отметка, совмещённая со стороной угла, и считывайте значение именно по этой шкале. Иначе можно увидеть подходящее число, но измерить его от другой стороны. Проверка нуля помогает избежать ошибки даже тогда, когда обе шкалы хорошо видны.

Если два угла измерены, их сравнивают по числам: большему числу градусов соответствует больший угол, а одинаковым мерам — равные углы. Например, 65° больше 40°, значит угол в 65° больше угла в 40°. Числа сравнивают только после правильного измерения, поскольку неверно выбранная шкала может привести к ошибочному результату. Запись мер делает вывод понятным и позволяет не накладывать углы друг на друга.

Чтобы построить угол заданной меры, проведите луч и отметьте его начало — будущую вершину. Поставьте центр транспортира на эту точку, совместите ноль с лучом и отметьте на нужной шкале заданное число градусов. Затем уберите транспортир и проведите из вершины второй луч через отметку. Такой порядок задаёт величину раскрытия, а не длину сторон: лучи можно продолжить, и мера угла не изменится.

Способы измерения и сравнения углов

Выберите способ по задаче: для быстрого непосредственного сравнения подойдёт наложение, для точного значения — транспортир. Перед тем как записать результат измерения, проверьте положение центра и нулевой отметки. Если сравниваете уже измеренные углы, сопоставьте их градусные меры.

Разбор задач

Задача 1. Даны два угла на чертеже. Определите, какой из них больше, сравнив их наложением. Здесь не требуется находить точные градусные меры: нужно расположить углы так, чтобы их раскрытия можно было сопоставить. Представим, что углы изображены на отдельных листах или их можно мысленно совместить.

1. Совместим вершины углов, положив одну вершину точно на другую. Если вершины расположены не в одной точке, положение сторон сравнивать неудобно.
2. Совместим по одной стороне и направим эти стороны одинаково. Теперь начальные положения углов совпадают, поэтому можно сравнить их раскрытие.
3. Посмотрим, где проходят вторые стороны. Если вторая сторона одного угла расположена дальше от совмещённой стороны, он раскрыт шире; если стороны совпадают, углы равны.

Ответ. Больше тот угол, чья вторая сторона при наложении проходит дальше от общей стороны. Для конкретного чертежа название большего угла определяют по тому, какая именно сторона оказалась дальше.

Задача 2. Измерьте транспортиром угол, изображённый на чертеже, и запишите его градусную меру. Числовое значение зависит от самого изображения, поэтому сначала нужно правильно установить инструмент, а затем считать значение. Предположим, что одна сторона угла направлена вправо, а другая пересекает шкалу у деления 50°.

1. Найдём вершину угла и поставим на неё центр транспортира. Совмещение важно, потому что именно вокруг вершины стороны расходятся.
2. Совместим нулевую отметку со стороной, направленной вправо. Затем выберем шкалу, на которой этот край отмечен нулём, чтобы считать от нужной стороны.
3. Найдём деление, через которое проходит вторая сторона, и прочитаем значение на выбранной шкале. В нашем примере это 50°, значит, измеренная мера равна 50°.

Ответ. ∠AOB = 50° (если вторая сторона на чертеже пересекает выбранную шкалу у деления 50°). При работе с другим изображением в записи указывают значение, которое показывает его вторая сторона.

Задача 3. Постройте угол заданной меры и сравните его с углом на чертеже, измерив оба угла. Пусть требуется построить угол 70°, а измерение угла на чертеже показало 55°. Нужно выполнить построение, а затем сопоставить две градусные меры. Так мы сравним углы не по длине нарисованных сторон, а по величине раскрытия.

1. Проведём луч и отметим его начало как вершину. Поставим центр транспортира на вершину и совместим нулевую отметку с лучом.
2. По шкале, начинающейся от совмещённого нуля, отметим деление 70°. Через вершину и отметку проведём второй луч — получим угол заданной меры.
3. Измерим угол на чертеже тем же способом и запишем его меру 55°. Сравним числа: 70 больше 55, поэтому построенный угол больше.

Ответ. Построен угол 70°, угол на чертеже равен 55°. Построенный угол больше на 15°.

Типичные ошибки

Центр транспортира иногда ставят рядом с вершиной, а не точно на неё. Ошибка возникает, когда ориентируются только на общий контур инструмента и не проверяют центральную отметку; из-за сдвига лучи пересекают шкалу не там. Проверьте себя: вершина должна находиться прямо под центром, а не у края транспортира.

Нулевая отметка может не совпасть со стороной угла, и тогда измерение начинают не от того места. Это случается, если сторону прикладывают к краю транспортира, не проверив, где на шкале расположен ноль. Перед отсчётом убедитесь, что нулевая линия или отметка лежит на одной стороне, а центр совпадает с вершиной.

Две шкалы направлены в разные стороны, поэтому легко считать по той, которая начинается не с нуля у совмещённой стороны. Обычно выбирают первое заметное число у второй стороны, не проверив направление отсчёта. Найдите ноль, от которого начинается измерение; затем проследите только по этой шкале до второй стороны и оцените, соответствует ли результат раскрытию угла.

Некоторые считают, что более длинные стороны образуют больший угол. Так думают, потому что длинные лучи занимают больше места на чертеже, хотя их длина не меняет раскрытие. Укоротите или мысленно продолжите стороны: величина угла останется прежней. Сравнивать нужно положение лучей относительно друг друга, а не расстояние до их концов.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно уметь распознавать луч, вершину и стороны, а также пользоваться линейкой и транспортиром. Эти знания помогают точно выполнять построения и читать чертежи. Навык измерения и сравнения углов пригодится при построении геометрических фигур и решении задач на углы. Он также понадобится при изучении свойств треугольников и других многоугольников, где величины углов помогают описывать фигуру и находить неизвестные элементы.

Что запомнить

• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Градусная мера угла записывается числом и знаком °.
• Центр транспортира совмещают с вершиной угла.
• Нулевая отметка транспортира должна совпасть с одной из сторон.
• Шкалу выбирают так, чтобы отсчёт начинался от нуля у совмещённой стороны.
• Чем больше градусная мера, тем больше угол.