Прямоугольный треугольник

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Такой угол обычно отмечают на чертеже маленьким квадратиком. По этой отметке можно сразу понять, что треугольник относится к прямоугольным, даже если его стороны нарисованы не в масштабе. Это определение помогает выбрать нужные свойства фигуры при решении задачи.

Катеты — стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Иначе говоря, они сходятся в вершине, где поставлен значок прямого угла. Название стороны определяется не её положением на листе, а связью с этим углом. Катеты важно уметь находить, чтобы правильно записывать данные задачи о длинах сторон.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она соединяет концы катетов и не образует прямой угол. Гипотенуза длиннее каждого катета, поэтому при сравнении сторон её можно проверить и по расположению, и по длине. Это название пригодится, когда нужно указать сторону в условии или вычислить её.

Два угла, кроме прямого, называются острыми: каждый из них меньше 90°. В треугольнике не может быть ещё одного прямого угла, поскольку сумма всех углов равна 180°. Острые углы находятся напротив катетов, а их величины вместе составляют 90°. Это позволяет находить один из них, если известен другой.

Как это устроено

Прямой угол задаёт, какие стороны считать катетами: это две стороны, которые встречаются в его вершине. Треугольник состоит из трёх сторон, поэтому после выделения этих двух остаётся одна сторона напротив угла. Такое расположение не зависит от того, как повернут чертёж. Например, прямой угол может быть сверху, снизу или сбоку, а названия сторон определяются всё равно относительно него.

Гипотенузу находят не по тому, какая сторона нарисована горизонтально или кажется наклонной, а по её положению напротив прямого угла. Если на чертеже отмечен угол при вершине C, посмотри на сторону, которая не касается вершины C: она и есть гипотенуза. Две стороны, выходящие из C, образуют отмеченный угол, поэтому это катеты. Такой способ надёжнее зрительной оценки длины на рисунке.

Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один угол уже равен 90°, поэтому на два оставшихся вместе приходится 180° − 90° = 90°. Каждый из них меньше 90°, значит, оба угла острые. Это рассуждение объясняет, почему, зная один острый угол, можно найти второй вычитанием из 90°.

Гипотенуза длиннее каждого катета из-за связи между углами и сторонами треугольника: против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол равен 90°, а два других угла острые, то есть меньше 90°. Напротив прямого угла лежит гипотенуза, а напротив острых — катеты. Поэтому гипотенуза оказывается самой длинной стороной.

Обозначения на чертеже помогают перевести рисунок в точную запись. Буквы обычно ставят у вершин, а угол записывают по букве вершины, например ∠C = 90°. Если прямой угол расположен при C в треугольнике ABC, то стороны AC и BC — катеты, а AB — гипотенуза. Записывая условие, сначала отмечай прямой угол, затем определяй стороны относительно него: так меньше риск перепутать их названия.

Части прямоугольного треугольника и их признаки

Пользуйся таблицей, начиная с отметки прямого угла: она помогает определить катеты и гипотенузу. Затем проверь углы и их сумму, если требуется найти неизвестный угол. Сопоставление сразу двух признаков помогает заметить ошибку в чтении чертежа.

Разбор задач

Катеты и гипотенуза по обозначению угла

Условие. В треугольнике ABC угол C прямой. Назовите катеты и гипотенузу. Решение. Сначала выясним, какие стороны сходятся в вершине C, потому что именно там находится прямой угол. Стороны, образующие его, будут катетами, а противоположная сторона — гипотенузой.

1. Угол C образован сторонами AC и BC.
2. Следовательно, AC и BC — катеты.
3. Напротив угла C лежит сторона AB, поэтому это гипотенуза.

Ответ: катеты AC и BC, гипотенуза AB.

Найти второй острый угол

Условие. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 38°. Найдите второй острый угол. Решение. Сумма острых углов равна 90°, значит, неизвестный угол вместе с углом 38° должен составить 90°. Чтобы найти неизвестное слагаемое, вычтем известное из общей суммы.

1. Обозначим второй угол за x.
2. Запишем x + 38° = 90°.
3. Вычтем 38°: x = 90° − 38° = 52°.

Ответ: 52°. Проверка: 38° + 52° = 90°, как и должно быть.

Углы связаны условием разности

Условие. В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, а угол A на 24° больше угла B. Найдите углы A и B. Решение. Углы A и B острые, поэтому их сумма равна 90°. Слова «на 24° больше» означают, что из угла B можно получить угол A, прибавив 24°; это и задаёт связь между неизвестными.

1. Пусть ∠B = x°, тогда ∠A = (x + 24)°.
2. Составим уравнение по сумме: x + (x + 24) = 90.
3. Сложим подобные слагаемые: 2x + 24 = 90, откуда 2x = 66 и x = 33.
4. Тогда ∠B = 33°, а ∠A = 33° + 24° = 57°.

Ответ: ∠A = 57°, ∠B = 33°. Проверим: 57° + 33° = 90°, а угол A действительно на 24° больше угла B.

Типичные ошибки

Иногда катетами называют любые две стороны треугольника. Так происходит, если смотреть только на рисунок и не учитывать, где расположен прямой угол. Проверь себя: оба катета должны сходиться в вершине прямого угла. Сторона напротив этой вершины катетом быть не может.

Гипотенузу порой путают со стороной, которая образует прямой угол. Положение на чертеже может сбивать с толку, особенно если треугольник повернут. Найди прямой угол и выбери сторону напротив него — это гипотенуза. У неё нет общей вершины с прямым углом.

Ещё одна ошибка — утверждать, что сумма всех углов прямоугольного треугольника равна 90°. Число 90° относится только к сумме двух острых углов; вместе с прямым углом сумма всех трёх составляет 180°. Чтобы проверить ответ, сложи три угла и сравни результат со 180°. Если получилось 90°, значит, прямой угол не учтён.

Некоторые считают, что гипотенуза может быть короче катета, если так выглядит на чертеже. Рисунок может быть выполнен не в масштабе, поэтому длину нельзя определять на глаз. Вспомни: гипотенуза лежит напротив прямого угла, а напротив большего угла находится большая сторона. Проверь, что названная гипотенуза длиннее обоих катетов.

Связь с другими темами

Для работы с прямоугольным треугольником нужно знать виды углов и свойство суммы углов треугольника. Прямой угол равен 90°, острый меньше 90°, а сумма трёх углов треугольника равна 180°. Эти сведения объясняют, почему два острых угла вместе дают 90° и позволяют находить неизвестный угол.

Названия «катет» и «гипотенуза» особенно важны при изучении теоремы Пифагора и задач на длины сторон. Чтобы применить нужное правило, сначала правильно определи, какая сторона является гипотенузой, а какие — катетами. Ошибка в обозначениях может привести к неверному решению, даже если вычисления выполнены аккуратно.

Что запомнить

• Прямоугольный треугольник имеет ровно один прямой угол.
• Стороны, образующие прямой угол, называются катетами.
• Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой.
• Гипотенуза длиннее каждого катета.
• Два других угла треугольника острые.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.