"Математика", Чекин А.Л.
Тупоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол больше 90°. По этому углу можно определить наибольшую сторону, а по длинам сторон — проверить, действительно ли треугольник тупоугольный. Знание его свойств помогает решать задачи на углы и высоты, применять обратную теорему Пифагора и различать треугольники по их форме. Главное — учитывать, что сумма углов треугольника равна 180°, а высота не всегда проходит внутри фигуры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тупоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов тупой. Иначе говоря, среди трёх его углов есть угол, который больше прямого. Это определение помогает сразу отнести треугольник к нужному виду, если величины углов известны.
Тупой угол — угол, величина которого больше 90° и меньше 180°. Границы важны: угол 90° называют прямым, а угол 180° не может быть внутренним углом обычного треугольника. Проверяя вид треугольника, сравнивают угол именно с 90°.
Наибольшая сторона треугольника — сторона, лежащая против его наибольшего угла. «Против» означает, что сторона не касается вершины этого угла. Это правило нужно, чтобы по углам находить стороны и не путать их с теми, которые прилегают к углу.
Высота тупоугольного треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°, а сама прямая может быть продолжением стороны. Такое определение позволяет верно провести высоту, даже если она выходит за границы треугольника.
В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180°. Если бы в нём оказалось два тупых угла, их сумма была бы больше 180° ещё до прибавления третьего угла. Поэтому тупой угол может быть только один, а два оставшихся угла вместе дополняют его до 180° и каждый меньше 90°.
Чтобы различить треугольники по углам, сравнивают каждый угол с прямым углом. Если один угол больше 90°, треугольник тупоугольный; если один равен 90° — прямоугольный; если все три меньше 90° — остроугольный. Эти варианты исчерпывают случаи, потому что сумма углов неизменно равна 180°.
Наибольший угол и наибольшая сторона расположены друг напротив друга. Это связано с общим свойством треугольника: большему углу соответствует большая противоположная сторона. Поэтому тупому углу соответствует самая длинная сторона, а поиск этой стороны начинается с определения вершины тупого угла.
Высота проводится из вершины под прямым углом к прямой противоположной стороны. У тупоугольного треугольника высота из вершины тупого угла попадает на саму противоположную сторону и проходит внутри треугольника. Из двух других вершин перпендикуляры попадают за пределы сторон — на их продолжения, поэтому эти высоты оказываются снаружи фигуры.
Вид треугольника можно выяснить и по длинам сторон. Пусть c — наибольшая сторона, а a и b — две остальные; сравнивают c² с a² + b², то есть квадраты длин, а не сами длины. Если c² больше суммы, треугольник тупоугольный: это обратный признак теоремы Пифагора, связывающий стороны с видом угла напротив c.
| Свойство | Что верно для тупоугольного треугольника | Обоснование или связь с другими понятиями |
|---|---|---|
| Величины углов | Один угол больше 90°, два других угла острые. | Сумма углов треугольника равна 180°. |
| Наибольший угол | Тупой угол. | Против большего угла лежит большая сторона. |
| Наибольшая сторона | Сторона, лежащая против тупого угла. | Это следует из сравнения углов и противоположных им сторон. |
| Высоты | Одна высота расположена внутри треугольника, две другие проходят к продолжениям сторон. | Перпендикуляр проводят к прямой, содержащей сторону. |
| Соотношение сторон | Квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон. | Это признак тупоугольного треугольника по обратной теореме Пифагора. |
Сначала найдите, какие данные даны в задаче: углы, стороны или высоты. Затем используйте соответствующую строку таблицы, чтобы установить свойство и его причину. Например, для проверки по сторонам обязательно обозначьте наибольшую сторону и сравните квадраты.
Ответ: треугольник тупоугольный; наибольшая сторона лежит напротив угла 100°.
Ответ: третий угол равен 37°; наибольшая сторона расположена напротив угла 116° и соединяет вершины углов 27° и 37°.
Ответ: треугольник тупоугольный. Сравнивать нужно квадраты длин, причём сначала находят наибольшую сторону.
Ученик видит «большой» угол и сразу называет треугольник тупоугольным, хотя угол может быть, например, 85°. Так происходит, если не сравнивать величину с прямым углом. Проверьте, что угол строго больше 90°; равный 90° угол означает прямоугольный треугольник.
Иногда считают, что в треугольнике могут быть два тупых угла. Это забывчивость: каждый такой угол уже больше 90°, и вместе они превысят сумму всех углов треугольника. Для самопроверки сложите известные углы и убедитесь, что их сумма вместе с третьим равна 180°.
Наибольшей называют сторону, которая прилегает к тупому углу. Путаница возникает из-за слов «большой угол» и «большая сторона», но соответствие задаётся не соседством, а расположением напротив. Отметьте вершину тупого угла и найдите сторону, не касающуюся этой вершины.
При проверке по сторонам сравнивают сами длины или выбирают не наибольшую из них. Это не работает, потому что признак относится к квадратам и именно к стороне, противоположной наибольшему углу. Обозначьте наибольшую длину c, затем сопоставьте c² и сумму квадратов двух остальных длин.
Для этой темы понадобятся виды углов, сумма углов треугольника и правило о том, что против большего угла лежит большая сторона. Эти знания помогают распознавать треугольник и находить его наибольшую сторону. В дальнейшем свойства тупоугольного треугольника пригодятся при использовании теоремы Пифагора, решении задач на высоты и классификации треугольников по углам. Они также связаны с построением треугольников: прежде чем строить фигуру по заданным длинам, проверяют условия существования треугольника.
Может ли в треугольнике быть два тупых угла?
Нет. Каждый тупой угол больше 90°, поэтому сумма двух таких углов уже превышает 180°. А сумма всех углов треугольника равна ровно 180°.
Как быстро определить, что треугольник тупоугольный?
Если известны углы, достаточно найти угол больше 90°: тогда треугольник тупоугольный. Если известны стороны, возьмите наибольшую сторону c и сравните квадраты: при c² > a² + b² угол напротив неё тупой.
Какая сторона является наибольшей в тупоугольном треугольнике?
Наибольшая сторона лежит напротив тупого угла. Она не прилежит к этому углу, а находится напротив его вершины.
Почему две высоты тупоугольного треугольника находятся вне него?
Высота проводится перпендикулярно не только самой стороне, но и прямой, на которой эта сторона лежит. Из двух острых вершин перпендикуляры попадают на продолжения противоположных сторон, поэтому соответствующие высоты выходят за границы треугольника.
Как определить вид треугольника по длинам его сторон?
Выберите наибольшую сторону c и сравните c² с суммой квадратов двух других сторон. Если c² больше этой суммы, треугольник тупоугольный; если равно — прямоугольный; если меньше — остроугольный. Сначала убедитесь, что такие длины вообще могут образовать треугольник.
Тупоугольный треугольник
