"Математика", Чекин А.Л.
Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого каждый из трёх углов меньше 90°. Чтобы распознать его, недостаточно увидеть один острый угол: нужно проверить все углы или найти неизвестный по сумме углов треугольника. Эта тема помогает классифицировать треугольники, решать задачи на углы и правильно выполнять геометрические построения. Главное свойство: сумма трёх углов равна 180°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Острый угол — угол, величина которого меньше 90°. Например, углы 30°, 60° и 89° являются острыми, а угол 90° уже к ним не относится. Это определение нужно, чтобы сравнивать углы треугольника с прямым углом.
Углы треугольника — три угла, образованные его сторонами. У каждого угла есть вершина, а его стороны являются сторонами треугольника. Рассматривая эти три угла, можно определить вид треугольника.
Остроугольный треугольник — треугольник, у которого все три угла острые. Значит, каждый из них меньше 90°, а не только один или два. Это свойство является главным признаком такого треугольника.
Классификация треугольников по углам — разделение треугольников на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Основанием для разделения служит величина наибольшего угла или наличие угла 90°. Такая классификация позволяет быстро описать треугольник и выбрать нужные свойства.
Для остроугольного треугольника достаточно проверить, что каждый из трёх углов меньше 90°, потому что именно это дано в его определении. Если известны все углы, их просто сравнивают с 90°. Нельзя ограничиться проверкой одного угла: два других могут оказаться прямыми или тупыми.
Сумма углов треугольника помогает установить его вид, когда известны не все углы. Сначала неизвестный угол находят вычитанием из 180° суммы двух известных углов. После этого сравнивают с 90° все три значения и делают вывод о треугольнике.
В треугольнике не может быть двух прямых углов, потому что их сумма уже равна 180°, а третий угол должен быть положительным. Двух тупых углов тоже быть не может: каждый из них больше 90°, поэтому их сумма превысила бы 180°. Следовательно, прямой или тупой угол в треугольнике может быть только один.
Виды треугольников по углам связаны с величиной их углов. Если все углы меньше 90°, треугольник остроугольный; если один угол равен 90°, он прямоугольный; если один угол больше 90°, он тупоугольный. Эти случаи не пересекаются и вместе охватывают все треугольники.
По внешнему виду рисунка нельзя надёжно определить, является ли треугольник остроугольным. Чертёж может быть условным, а небольшой наклон стороны способен изменить впечатление о величине угла. Поэтому вывод делают по измерениям, данным задачи или вычислениям, а не по тому, как фигура выглядит.
| Вид треугольника | Условие на углы | Что можно сказать о треугольнике |
|---|---|---|
| Остроугольный треугольник | Все три угла меньше 90° | Каждый угол острый |
| Прямоугольный треугольник | Один угол равен 90° | Два других угла острые |
| Тупоугольный треугольник | Один угол больше 90° | Два других угла острые |
Пользуйся таблицей так: сначала найди или вычисли углы треугольника, затем сравни их с 90°. Если прямого или тупого угла нет, все углы будут острыми, и треугольник окажется остроугольным.
В последних двух видах особый угол может быть только один. Остальные два угла обязательно острые, потому что их сумма вместе с прямым или тупым углом должна составить 180°.
Задача 1. Определить вид треугольника, если его углы равны 50°, 60° и 70°. Здесь известны все три угла, поэтому неизвестные значения искать не нужно. Требуется только сравнить каждый угол с 90°.
Ответ: остроугольный треугольник.
Задача 2. Два угла треугольника равны 35° и 75°. Найти третий угол и определить вид треугольника. Сначала используем сумму углов треугольника, равную 180°, а затем проверим получившееся значение.
Ответ: третий угол равен 70°, треугольник остроугольный.
Задача 3. Углы треугольника равны x, x + 20° и 2x. Нужно найти их величины и классифицировать треугольник. Буква x обозначает неизвестную величину, поэтому сначала составим уравнение по сумме углов.
Ответ: 40°, 60° и 80°; треугольник остроугольный.
Ошибка 1. Ученик видит один острый угол и сразу называет треугольник остроугольным. Так происходит потому, что название связывают с любым острым углом, хотя острыми должны быть все три. Проверь каждый угол отдельно.
Ошибка 2. Условие «меньше 90°» заменяют условием «не больше 90°». Число 90° входит во второе условие, но прямой угол не является острым. Если встретился угол 90°, треугольник прямоугольный.
Ошибка 3. Третий угол находят как 180° или забывают вычесть сумму известных углов. Причина — механическое использование свойства суммы углов. Записывай действие так: 180° − (первый угол + второй угол).
Ошибка 4. Вид треугольника определяют только по чертежу. Рисунок может быть сделан приблизительно и вводить в заблуждение. Сверяй вывод с вычисленными или измеренными углами.
До изучения темы нужно знать виды углов и свойство суммы углов треугольника. Эти знания позволяют сравнивать углы с 90° и находить неизвестный угол.
Классификация пригодится при решении задач на треугольники и проверке геометрических построений. По типу углов можно выбрать подходящее свойство фигуры.
Позже знание остроугольных треугольников понадобится при изучении высот, медиан и биссектрис. Вид треугольника влияет на расположение некоторых связанных с ним отрезков.
Достаточно ли найти два острых угла, чтобы назвать треугольник остроугольным?
Нет, этого недостаточно. Третий угол может быть прямым или тупым, поэтому нужно проверить все три угла.
Может ли в треугольнике быть два тупых угла?
Нет. Каждый тупой угол больше 90°, а сумма двух таких углов уже больше 180°, тогда как сумма углов треугольника равна 180°.
Почему треугольник с углом 90° не является остроугольным?
Остроугольный треугольник должен иметь три угла, каждый из которых меньше 90°. Угол 90° не является острым, поэтому такой треугольник называют прямоугольным.
Как определить вид треугольника, если известны только два его угла?
Сначала найдите третий угол: из 180° вычтите сумму двух известных углов. Затем сравните все три угла с 90° и выберите название треугольника.
Можно ли определить вид треугольника только по его рисунку?
Надёжно определить нельзя, потому что чертёж может быть выполнен не в точном масштабе. Углы нужно измерить или вычислить по известным свойствам.
Остроугольный треугольник
