Разносторонние и равнобедренные треугольники

Определения и обозначения

Разносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Например, если стороны равны 4 см, 5 см и 6 см, ни одна пара не совпадает по длине. Это определение помогает сразу отнести фигуру к нужному виду после сравнения сторон.

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Равенство можно установить по данным задачи или по одинаковым отметкам на сторонах чертежа. Такое название позволяет использовать равные длины при вычислениях и описании фигуры.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами. Это название показывает, какие именно стороны образуют равную пару. Например, если AB = AC, то AB и AC — боковые стороны.

Третью сторону равнобедренного треугольника называют основанием. Она отличается от боковых сторон тем, что не входит в пару равных сторон. Если AB = AC, то оставшаяся сторона BC — основание; буквенные обозначения не дают перепутать стороны.

Как это устроено

Чтобы определить вид треугольника, нужно сравнить длины всех трёх сторон. Сначала сопоставь одну сторону с двумя другими, затем проверь оставшуюся пару. Если ни одна пара не равна, треугольник разносторонний; если две стороны равны, он равнобедренный. Сравнение всех сторон необходимо, потому что одного случайно выбранного сравнения недостаточно для полной классификации.

У равнобедренного треугольника равные стороны называют боковыми, а не просто «двумя сторонами». Эти два отрезка образуют одинаковую пару, и такое название помогает отличить их от третьей стороны. Третья сторона получает отдельное имя — основание, потому что относительно неё удобно описывать фигуру и её свойства. Речь идёт о роли сторон в треугольнике, а не о том, как их расположили на бумаге.

На чертеже равенство обычно показывают одинаковыми короткими штрихами: стороны с одной и той же отметкой равны. Найди такие отметки, и обозначенные ими отрезки будут боковыми сторонами. Сторона без этой отметки — основание, если на чертеже отмечена ровно одна пара равных сторон. Если отметок нет, ориентируйся на числовые данные или буквенную запись равенства.

Разносторонний треугольник не имеет равных сторон, а равнобедренный в этой классификации имеет ровно две равные стороны. Если равны все три стороны, треугольник выделяют отдельно и называют равносторонним. Такая проверка не позволяет смешать две разные ситуации: равную пару и три равные стороны. Поэтому после обнаружения равенства двух сторон стоит проверить и третью.

Буквенные названия вершин помогают записывать сведения без двусмысленности. В треугольнике ABC стороны обозначаются AB, AC и BC; запись AB = AC означает, что боковые стороны — AB и AC, а основание — BC. На рисунке те же стороны можно выделить одинаковыми отметками, а в решении сохранить буквенные обозначения. Благодаря этому понятно, какие именно длины сравниваются и к какой стороне относится найденное значение.

Треугольники по длинам сторон

Сначала сравни длины и найди, есть ли равные стороны, а затем выбери подходящий столбец. Для равнобедренного треугольника проверь также, что третья сторона не равна двум остальным, если в задаче равносторонний треугольник выделяется отдельно.

Разбор задач

Задача 1. У треугольника стороны 4 см, 5 см и 6 см. Определите его вид по длинам сторон. Важно проверить все пары, а не только убедиться, что две стороны на рисунке выглядят разными. Сравнение чисел здесь точнее, чем оценка изображения.

1. Сопоставим длины: 4 см не равны 5 см и 6 см. 5 см также не равны 6 см. Значит, равных сторон нет.
2. По определению такой треугольник является разносторонним. Для ответа больше ничего вычислять не требуется.

Ответ: треугольник разносторонний.

Задача 2. У треугольника ABC стороны AB = 7 см, AC = 7 см и BC = 5 см. Назовите боковые стороны и основание. Начинаем с равных длин, поскольку именно они определяют боковые стороны. Оставшуюся сторону назовём основанием.

1. Сравним данные: AB = AC, обе стороны имеют длину 7 см. Следовательно, эта равная пара — боковые стороны.
2. В треугольнике ABC третья сторона — BC, её длина равна 5 см. Она не входит в равную пару, поэтому является основанием.

Ответ: боковые стороны AB и AC, основание BC.

Задача 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, основание — 8 см. Найдите длину каждой боковой стороны и определите вид треугольника по длинам сторон. Периметр равен сумме трёх сторон. После того как вычтем основание, остаток будет общей длиной двух равных боковых сторон.

1. Вычтем основание из периметра: 26 − 8 = 18 см. Это сумма длин боковых сторон.
2. Разделим 18 см поровну между двумя равными сторонами: 18 ÷ 2 = 9 см. Каждая боковая сторона равна 9 см.
3. Стороны имеют длины 9 см, 9 см и 8 см. Равны ровно две стороны, поэтому треугольник равнобедренный, а не равносторонний.

Ответ: каждая боковая сторона равна 9 см; треугольник равнобедренный.

Типичные ошибки

Иногда основанием называют сторону, которая нарисована горизонтально. Так происходит потому, что в привычных изображениях основание часто расположено внизу. Но треугольник можно повернуть, и горизонтальная сторона от этого не станет основанием. Проверь себя: найди равные боковые стороны, а основанием назови третью.

Две стороны могут ошибочно назвать боковыми просто потому, что они выбраны первыми или находятся по краям рисунка. Однако у равнобедренного треугольника боковые стороны обязательно равны. Сверь их длины или отметки равенства; если равенства нет, эти стороны нельзя называть боковыми.

Треугольник порой называют разносторонним, сравнив только одну пару сторон. Из-за этого можно не заметить, что другая пара равна. Сравни все три пары: если найдётся хотя бы одна равная пара, треугольник не разносторонний. Когда все длины различны, вывод о разностороннем треугольнике верен.

Равнобедренный треугольник путают с треугольником, у которого равны все три стороны. Причина — в обоих случаях встречаются равные длины, но их количество различно. После обнаружения равной пары проверь третью сторону отдельно. Если она тоже равна остальным, это равносторонний треугольник, который выделяют отдельно.

Связь с другими темами

Для работы с видами треугольников нужно знать, что такое сторона и вершина: сторона соединяет две вершины, а вершины обозначают буквами. Также понадобится умение сравнивать длины отрезков по числам или отметкам на чертеже. Эти знания помогают правильно прочитать условие и назвать нужные стороны.

Классификация по сторонам пригодится дальше, когда будут изучаться углы и свойства треугольников: вид фигуры подсказывает, какие стороны сравнивать. Она также используется в задачах на периметр — сумму длин сторон. Например, если известны периметр и основание равнобедренного треугольника, остаток делят поровну между боковыми сторонами.

Что запомнить

• У разностороннего треугольника все стороны разной длины.
• У равнобедренного треугольника две стороны равны.
• Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми.
• Третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием.
• Вид треугольника по сторонам определяют сравнением длин всех трёх сторон.
• Треугольник с тремя равными сторонами выделяют отдельно.