"Математика", Чекин А.Л.
Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, а равносторонний — три. По равным сторонам можно определить равные углы, а по углам — распознать равнобедренный треугольник. Особая линия, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию, делит его пополам и образует прямой угол. Эти свойства помогают находить неизвестные углы и стороны, вычислять периметр и доказывать равенство треугольников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Например, если AB = AC, то равными являются стороны AB и AC. Запись с буквами позволяет сразу увидеть, какие стороны сравнивают, и использовать это при решении задач.
Две равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами. Если AB = AC, то боковые стороны — AB и AC. Название помогает отличить их от третьей стороны и понять, какие углы и отрезки связаны особыми свойствами.
Основание равнобедренного треугольника — сторона, отличная от равных боковых сторон. При AB = AC основание — BC, поэтому его удобно находить после того, как определены две равные стороны. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и любую из них можно считать основанием.
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого равны все три стороны. В нём, например, AB = BC = CA. Он является частным случаем равнобедренного: любые две его стороны равны, поэтому к нему применимы свойства равнобедренного треугольника.
Чтобы объяснить равенство углов при основании, проведём биссектрису AD из вершины A к основанию BC. Биссектриса — это луч или отрезок, делящий угол на две равные части. Получившиеся треугольники ABD и ACD равны: AB = AC, AD — общая сторона, а углы BAD и DAC равны по определению биссектрисы. Поэтому соответствующие углы ABD и ACD равны; это и есть углы при основании.
Из того же доказательства следует, что биссектриса AD делит основание пополам: BD = DC, потому что это соответствующие стороны равных треугольников. Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называют медианой. Углы ADB и ADC тоже равны, поскольку соответствуют друг другу, и вместе составляют 180° как смежные углы. Значит, каждый из них прямой, AD перпендикулярна BC и является высотой. Таким образом, именно проведённая из вершины к основанию биссектриса одновременно служит медианой и высотой.
В равностороннем треугольнике все стороны равны, а напротив равных сторон лежат равные углы. Поэтому все три угла равны между собой. Их сумма равна 180°, следовательно, каждый угол составляет 180° : 3 = 60°. Это позволяет находить углы такого треугольника, не измеряя их по рисунку.
Равенство двух углов можно использовать и в обратную сторону. Если в треугольнике, например, углы B и C равны, то лежащие напротив них стороны AC и AB также равны. Значит, треугольник ABC равнобедренный, а его основание — BC. Так распознают равнобедренный треугольник по углам, даже если равенство сторон не было дано явно.
При вычислениях сначала определите, какие стороны или углы связаны свойством, а затем используйте сумму углов треугольника 180°. Например, если известен угол при вершине равнобедренного треугольника, оставшуюся сумму поровну делят между углами при основании. Для сторон и периметра записывают равные боковые стороны и складывают длины всех трёх сторон. Такой порядок помогает не перепутать основание и углы при вершине.
| Свойство | Равнобедренный треугольник | Равносторонний треугольник |
|---|---|---|
| Равные стороны | Две боковые стороны | Все три стороны |
| Углы, лежащие напротив равных сторон | Равны | Все три угла равны |
| Углы при основании | Равны | Равны; любую сторону можно выбрать основанием |
| Биссектриса угла при вершине | Также медиана и высота к основанию | Также медиана и высота к выбранному основанию |
| Величина каждого угла | Зависит от треугольника; сумма углов 180° | 60° |
Сначала найдите в таблице нужный тип треугольника, затем выберите строку с известным свойством. Если треугольник равносторонний, применимы также свойства равнобедренного, потому что у него есть равные стороны. При вычислениях проверяйте, что сумма трёх углов составляет 180°.
Задача 1. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. Назовите основание и равные углы. Чтобы не перепутать стороны, сначала отметим, какие из них равны, а затем найдём оставшуюся сторону. После этого применим свойство равнобедренного треугольника.
Ответ: основание — BC, равные углы — ∠ABC и ∠BCA. Такой порядок удобен в задачах с буквенными обозначениями: сначала определяем равные стороны, а потом называем углы напротив них.
Задача 2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Найдите углы при основании. В равнобедренном треугольнике эти два угла одинаковы, а вместе с углом при вершине они дают 180°. Значит, сначала вычислим их общую сумму, а затем разделим её пополам.
Ответ: углы при основании равны 70° и 70°. Проверка суммой углов помогает обнаружить ошибку в вычислении или в распределении остатка.
Задача 3. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 13 см, а основание — 10 см. Найдите периметр и объясните, почему треугольник не равносторонний. Периметр — сумма длин всех сторон, поэтому нужно сложить две боковые стороны и основание. Затем сравним длины, чтобы проверить, равны ли все три стороны.
Ответ: периметр равен 36 см; треугольник не равносторонний, потому что его основание не равно боковым сторонам. Сравнение всех трёх длин даёт нужный вывод, а не только вычисление периметра.
Иногда основанием называют любую сторону, не определив равные стороны. Так происходит, когда ориентируются только на положение треугольника на рисунке, хотя фигуру можно повернуть. Сначала найдите две равные боковые стороны, а основанием назовите третью; в равностороннем треугольнике равноправна любая сторона.
Ещё одна ошибка — считать, что равные углы лежат напротив равных углов. В треугольнике сопоставляют сторону и угол напротив неё: равным сторонам соответствуют равные противолежащие углы. Проверьте обозначения вершин: напротив AB находится угол C, а напротив AC — угол B.
Не каждый отрезок, проведённый из вершины к основанию, автоматически является медианой, высотой и биссектрисой. Это сочетание свойств относится к биссектрисе угла при вершине равнобедренного треугольника, проведённой к основанию. Уточните, что отрезок именно делит угол пополам, или что речь идёт о специальной линии этого треугольника.
В равностороннем треугольнике нельзя принимать каждый угол за 90° или забывать, что сумма углов равна 180°. Поскольку все три угла равны, каждый составляет 180° : 3 = 60°. Проверка суммы трёх найденных углов сразу покажет, верно ли выполнено вычисление.
Для работы с равнобедренными и равносторонними треугольниками нужно знать названия и обозначения сторон и углов, виды треугольников и правило о сумме углов 180°. Эти знания помогают переводить условие задачи в равенства и находить недостающие величины. Свойства треугольников применяют при вычислении углов, сторон и периметра, а также при доказательстве равенства треугольников. Они подготавливают к изучению медиан, высот, биссектрис и признаков равенства треугольников.
Может ли равносторонний треугольник считаться равнобедренным?
Да. У равностороннего треугольника все три стороны равны, поэтому у него есть и две равные стороны. Значит, он является частным случаем равнобедренного треугольника.
Как определить основание равнобедренного треугольника?
Сначала найдите две равные стороны: их называют боковыми. Третья сторона, не равная им, — основание. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому любую из них можно выбрать основанием.
Почему углы при основании равнобедренного треугольника равны?
Биссектриса вершины делит треугольник на две части. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: боковые стороны равны, биссектриса общая, а угол при вершине разделён пополам. Поэтому соответствующие углы при основании равны.
Почему биссектриса угла при вершине одновременно является высотой?
Биссектриса делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника, поэтому прилежащие к основанию углы при её основании равны. Они составляют развёрнутый угол, то есть в сумме дают 180°, значит, каждый равен 90°. Следовательно, биссектриса перпендикулярна основанию и является высотой.
Как найти углы равнобедренного треугольника, если известен один из них?
Если известен угол при вершине, вычтите его из 180° и разделите остаток пополам: углы при основании равны. Если известен угол при основании, второй такой же, а угол при вершине равен 180° минус сумма этих двух углов. Сначала определите, какой именно угол дан.
Равнобедренные и равносторонние треугольники
