"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Если у треугольника две стороны равны, его называют равнобедренным: равные стороны — боковые, а третья — основание. Равенство сторон помогает установить равенство углов, а равенство углов — обнаружить равные стороны. Особая линия из вершины к основанию такого треугольника одновременно делит его пополам, перпендикулярна основанию и делит угол вершины пополам. Если равны все три стороны, треугольник равносторонний, и каждый его угол равен 60°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Например, если AB = AC, то AB и AC — боковые стороны, а BC — основание. Такое обозначение помогает сразу увидеть, какие стороны и углы связаны свойствами равнобедренного треугольника.
Основание равнобедренного треугольника — сторона, которая не является одной из двух равных сторон. В примере AB = AC основание BC, а вершина A, где сходятся боковые стороны, называется вершиной треугольника. Углы B и C прилежат к основанию, поэтому их называют углами при основании. Это различение нужно, чтобы точно указывать, к каким углам относятся свойства фигуры.
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны. Если AB = BC = CA, то любая сторона может быть выбрана в качестве основания, а две оставшиеся будут боковыми. Такой треугольник удовлетворяет условию равнобедренного, но имеет дополнительное равенство третьей стороны. Это определение позволяет отличить особый случай от обычного равнобедренного треугольника.
Угол при основании — каждый из двух углов равнобедренного треугольника, прилежащих к основанию. Если основание BC, то углы при основании — ∠ABC и ∠BCA. Угол A находится напротив основания и называется углом при вершине. Такое название помогает не перепутать углы, которые равны между собой, с углом при вершине.
Чтобы определить части равнобедренного треугольника, сначала найдите пару равных сторон. Именно они по определению являются боковыми, а оставшаяся сторона — основанием; общая вершина боковых сторон будет вершиной треугольника. Например, при AB = AC боковые стороны сходятся в A, а противоположная им сторона BC — основание. Углы при B и C прилегают к основанию, поэтому их сразу можно отметить как пару равных углов.
Почему углы при основании равны, можно доказать через равенство треугольников. Пусть AB = AC, а AD — медиана к основанию BC, то есть BD = DC. Треугольники ABD и ACD равны по трём сторонам: AB = AC, BD = DC, а AD у них общая сторона. Значит, соответствующие углы ABD и ACD равны, а это и есть углы исходного треугольника при основании.
Та же пара равных треугольников объясняет, почему медиана к основанию одновременно становится высотой и биссектрисой. Из равенства треугольников следует, что углы BAD и DAC равны, поэтому AD делит угол A пополам и является биссектрисой. Углы ADB и ADC тоже равны, а вместе образуют развёрнутый угол, то есть их сумма равна 180°. Каждый из них тогда прямой, поэтому AD перпендикулярна BC и является высотой. Эти выводы относятся к медиане, проведённой именно из вершины к основанию.
Равенство углов позволяет узнать равнобедренный треугольник, даже если о длинах сторон ничего не сказано. Если два угла равны, то противолежащие им стороны тоже равны: напротив равных углов в треугольнике лежат равные стороны. Поэтому треугольник с двумя равными углами равнобедренный, а равные стороны можно назвать боковыми. Этот признак работает в обратном направлении к свойству углов при основании.
Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, потому что среди трёх его равных сторон всегда найдутся две равные. Если все стороны равны, то против каждой из них лежит равный угол, значит, все три угла равны. Сумма углов любого треугольника составляет 180°, поэтому каждый из трёх одинаковых углов равен 180° : 3 = 60°. Так из равенства сторон и общего свойства суммы углов получается величина каждого угла.
| Вид треугольника | Равные стороны | Равные углы | Дополнительные свойства | Величина углов |
|---|---|---|---|---|
| Равнобедренный треугольник | Две боковые стороны | Углы при основании | Медиана к основанию является также высотой и биссектрисой | Зависит от формы треугольника; сумма равна 180° |
| Равносторонний треугольник | Все три стороны | Все три угла | Частный случай равнобедренного треугольника | Каждый угол равен 60° |
| Медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию равнобедренного треугольника | Боковые стороны исходного треугольника равны | Угол при вершине делится пополам | Эти три линии совпадают | Углы у основания медианы — прямые |
| Признак равнобедренного треугольника по равенству углов | Против равных углов лежат равные стороны | Два угла равны | Равные стороны становятся боковыми | Третий угол определяется из суммы 180° |
Сначала найдите строку, которая соответствует известным данным задачи: равным сторонам, равным углам или медиане к основанию. Затем используйте нужное свойство, чтобы получить недостающую информацию. В строках о равнобедренном и равностороннем треугольниках не смешивайте равенство двух сторон с равенством всех трёх.
Задача 1. Дан треугольник ABC: AB = AC = 7 см, BC = 10 см. Определить вид треугольника, его основание и периметр. Равные стороны AB и AC сразу показывают, что треугольник равнобедренный. Сторона, которая не входит в эту пару, будет основанием.
Ответ: треугольник равнобедренный, основание BC равно 10 см, периметр равен 24 см. Проверка проста: в периметре учтены все три стороны, а две равные стороны взяты по одному разу. Треугольник не равносторонний, поскольку BC отличается по длине от AB и AC.
Задача 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, основание — 10 см. Найти длину каждой боковой стороны и углы, если угол при вершине равен 40°. Здесь равные боковые стороны удобно обозначить одной буквой x. Для углов сначала используем равенство углов при основании, затем сумму углов треугольника.
Ответ: каждая боковая сторона равна 8 см, углы при основании — по 70°, угол при вершине — 40°. Проверка периметра: 8 + 8 + 10 = 26 см. Проверка суммы углов: 40° + 70° + 70° = 180°.
Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC. Медиана AD проведена к основанию BC. Доказать, что AD является также высотой и биссектрисой угла A. Медиана делит основание пополам, поэтому BD = DC. Рассмотрим треугольники ABD и ACD: у них равны три соответствующие стороны.
Ответ: AD делит угол A пополам и перпендикулярна BC, следовательно, она является биссектрисой и высотой. Вместе с тем AD уже была медианой по условию. Доказательство основано на равенстве треугольников, а не только на внешнем виде чертежа.
Ошибочно называть основанием любую выбранную сторону равнобедренного треугольника. Так происходит, если забыть, что основание определяется относительно двух равных боковых сторон. Чтобы проверить себя, найдите равную пару и назовите основанием оставшуюся сторону; если все три стороны равны, выбор основания возможен любой.
Иногда считают равными все углы равнобедренного треугольника. На деле равны только углы при основании, а угол при вершине может иметь другую величину. Проверьте, к какой стороне прилежит каждый угол: равными будут углы у концов основания, а не обязательно все три.
Ещё одна ошибка — утверждать, что любая медиана в равнобедренном треугольнике является высотой и биссектрисой. Совпадение этих линий доказано для медианы, проведённой к основанию из вершины между боковыми сторонами. Перед применением свойства отметьте, к какой стороне проведена медиана и делит ли она именно основание пополам.
Равенство только двух сторон не даёт права называть треугольник равносторонним. Это название требует равенства всех трёх сторон, хотя для равнобедренного достаточно двух. Сверьте данные: если третья сторона не установлена равной остальным, называйте треугольник равнобедренным, а не равносторонним.
Для работы с темой нужно знать элементы треугольника, виды углов и сумму углов треугольника. Доказательство ключевых свойств опирается на признаки равенства треугольников: например, равенство частей после проведения медианы объясняет свойства линии к основанию. Позже эти знания пригодятся при доказательстве геометрических утверждений и вычислении неизвестных сторон и углов. Они также помогают строить медианы, высоты и биссектрисы; ось симметрии равнобедренного треугольника проходит через его вершину и середину основания.
Можно ли равносторонний треугольник считать равнобедренным?
Да. У равностороннего треугольника любые две стороны равны, поэтому он подходит под определение равнобедренного. При этом у него равны все три стороны, а не только две.
Как определить, какая сторона является основанием равнобедренного треугольника?
Сначала найдите две равные стороны — это боковые стороны. Третья сторона, не равная им, называется основанием. Вершина, где сходятся боковые стороны, противоположна основанию.
Почему углы при основании равны?
Если провести медиану из вершины к основанию, она разделит треугольник на две равные части. В соответствующих частях углы при основании равны, поэтому равны и углы исходного треугольника при основании.
Всегда ли медиана в равнобедренном треугольнике является высотой?
Нет, это верно для медианы, проведённой именно к основанию. Такая медиана идёт из вершины между равными сторонами. Медиана, проведённая к боковой стороне, вообще говоря, не обязана быть высотой.
Как по равенству углов доказать равенство сторон?
Найдите стороны, лежащие напротив равных углов. По свойству треугольника против равных углов лежат равные стороны. Если в треугольнике равны два угла, он равнобедренный.
Равнобедренные и равносторонние треугольники
