Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — геометрический объект, у которого нет длины, ширины и площади. Её обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. На чертеже точку показывают маленькой отметкой, но её размер нужен только для наглядности. Точка помогает точно указать положение и служит началом построения других фигур.

Прямая — ровная линия, которая продолжается без конца в обе стороны. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней: AB. Прямая не ограничена концами, поэтому её отличают от конечных частей линии. Такое обозначение помогает понять, какую именно линию имеют в виду на чертеже.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называются его концами. Его обозначают буквами концов, например AB или [AB]. Луч — часть прямой с началом, которая продолжается в одну сторону; в записи луча AB первой ставят букву начала. Эти обозначения показывают, где фигура ограничена и в каком направлении она продолжается.

Угол образуют два луча с общим началом, которое называется вершиной, а лучи — его сторонами. Угол с вершиной B и сторонами BA и BC обозначают ∠ABC, причём буква вершины стоит посередине. Многоугольник — замкнутая ломаная вместе с внутренней областью; его стороны — отрезки, а их общие концы — вершины. В отличие от угла, многоугольник ограничивает целую область плоскости.

Как это устроено

Точка служит исходным элементом геометрии, потому что позволяет задать точное положение, не связывая его с размером предмета. Например, на плане точкой можно отметить место, а уже затем проводить через него линии или соединять его с другими местами. Несколько точек задают отношения между объектами: какие лежат на одной линии и какие образуют концы отрезка. Поэтому сложные фигуры удобно описывать через точки и их соединения.

Если отметить две различные точки A и B, то часть прямой между ними будет отрезком AB. Через эти точки можно провести только одну прямую: две разные прямые не могут проходить через одну и ту же пару точек. Чтобы получить луч AB, выбирают A началом, проводят линию через B и продолжают её за B в том же направлении. Перестановка букв у луча меняет начало, поэтому луч AB и луч BA обычно являются разными фигурами.

Прямая, луч и отрезок различаются тем, сколько у них концов и куда они продолжаются. У прямой концов нет, и её можно продолжать в обе стороны; у луча есть начало и продолжение только в одну сторону. У отрезка два конца, поэтому за них сам отрезок не продолжается. Проверяя рисунок, мысленно проследи линию от её границ: это помогает не спутать фигуры, даже если часть чертежа выглядит одинаково.

Угол возникает, когда два луча выходят из одной точки: эта точка становится вершиной, а лучи — сторонами угла. Между сторонами можно мысленно повернуть один луч вокруг вершины до другого; величина угла связана с тем, насколько большой поворот для этого нужен. Поэтому угол определяется не длиной нарисованных сторон, а их направлением относительно друг друга. Чтобы однозначно назвать угол тремя буквами, вершину записывают между буквами, обозначающими точки на сторонах.

Если отрезки соединить последовательно концами, получится ломаная: каждый отрезок в ней называется звеном, а места соединения — вершинами. Когда конец последнего звена совпадает с началом первого, ломаная замыкается и отделяет внутреннюю область. Замкнутая ломаная вместе с этой областью образует многоугольник. Для многоугольника важно, что его граница составлена именно из отрезков, а не из любых линий.

Основные геометрические фигуры и их элементы

Сначала найди на чертеже концы и общие точки, затем сравни фигуру с признаками в таблице. Для луча обязательно проверь, какая буква стоит первой, а для угла — какая буква находится в середине обозначения. У ломаной и многоугольника выясни, соединены ли звенья последовательно и замыкается ли граница.

Разбор задач

Задача 1. На схеме отмечены точки A, B, C и D; линия через A и B продолжается в обе стороны, линия с началом C проходит через D и продолжается за D, а участок между A и C ограничен концами. Назови фигуры и запиши их обозначения. Решать нужно по признакам: сначала установить, где линия бесконечна, где есть начало, а где оба конца. Для обозначения луча особенно важно не перепутать начальную точку с точкой направления.

1. Линия через A и B без концов — прямая AB.
2. Линия с началом C, проходящая через D, — луч CD.
3. Ограниченный точками A и C участок — отрезок AC.

Ответ: прямая AB, луч CD и отрезок AC. Если обозначить луч DC, его начало окажется в D, поэтому получится уже другой луч. В любом настоящем рисунке названия точек нужно брать с самого чертежа, а не угадывать по расположению фигур.

Задача 2. Даны точки A и B. Построй прямую AB, луч AB и отрезок AB, затем сравни полученные фигуры. Для построения понадобится линейка; сначала отметь обе точки и не меняй их положение. Различия определяются не наклоном линии, а тем, какие её части оставлены на чертеже.

1. Приложи линейку к точкам A и B и проведи прямую в обе стороны от них.
2. Для луча начни в A, проведи линию через B и продолжи её за B.
3. Для отрезка проведи линию только от A до B и отметь оба конца.

Ответ: у прямой нет концов, луч AB имеет начало A и продолжается в одну сторону, отрезок AB имеет концы A и B. Прямая проходит через обе точки, но продолжается дальше них в обоих направлениях. Так можно проверить, что одинаковая линия на рисунке может обозначать разные фигуры в зависимости от границ.

Задача 3. На схеме из точки B выходят лучи BA и BC, а отрезки AB, BC и AC образуют замкнутый контур. Найди угол и многоугольник, назови их элементы. Удобно сначала определить общую точку лучей, поскольку именно она задаёт вершину угла. Затем нужно проверить, составляют ли отрезки замкнутую границу.

1. Общее начало лучей BA и BC — точка B, значит, это вершина угла.
2. Сторонами угла служат лучи BA и BC; угол можно записать как ∠ABC.
3. Отрезки AB, BC и AC замыкают контур с вершинами A, B и C, значит, это треугольник ABC.

Ответ: угол ABC имеет вершину B и стороны BA и BC; многоугольник ABC — треугольник со сторонами AB, BC и AC. Если поменять среднюю букву в обозначении угла, изменится его вершина. При разборе более сложного рисунка сначала отмечай общие точки и отдельные отрезки, а потом собирай из них фигуры.

Типичные ошибки

Ошибка: считать точку маленьким кружком с определённым размером. На рисунке её действительно изображают заметной отметкой, но это только условный знак; в геометрии точка не имеет длины, ширины или площади. Такую путаницу допускают, потому что на бумаге невозможно показать объект совсем без размера. Проверь себя: мысленно уменьши отметку — положение точки останется тем же.

Ошибка: путать прямую, луч и отрезок, не замечая концов и продолжения. На рисунке линии могут выглядеть одинаково, а стрелки или отметки границ легко пропустить. Найди начало и концы: у прямой их нет, у луча одно начало, у отрезка два конца. Если указать эти признаки, название фигуры можно проверить независимо от её наклона.

Ошибка: записывать луч AB вместо луча BA или переставлять буквы в обозначении угла, не сохраняя вершину. Причина в том, что кажется, будто буквы лишь называют точки и их порядок несущественен. У луча первая буква задаёт начало, а в обозначении угла из трёх букв средняя указывает вершину. Перед записью покажи пальцем начало луча или общую точку сторон угла и сравни её с нужной буквой.

Ошибка: называть многоугольником любую замкнутую линию. Замкнутость необходима, но сама по себе недостаточна: граница многоугольника должна состоять из отрезков. Например, окружность замкнута, но не является многоугольником. Проверь каждую часть границы: если она не отрезок, перед тобой не многоугольник.

Связь с другими темами

До изучения фигур полезно уметь пользоваться линейкой, находить точки и линии на схеме, читать буквенные обозначения. Эти навыки помогают не только строить фигуры, но и точно описывать их словами. Дальше понятия отрезка и угла понадобятся при изучении их измерения, а знания о сторонах и вершинах — при работе с треугольниками, многоугольниками и геометрическими построениями. Геометрические обозначения встречаются также в чертежах, планах и схемах, где ими показывают форму и взаимное расположение объектов.

Что запомнить

• Точка не имеет размеров и обозначается заглавной латинской буквой.
• Через любые две различные точки проходит единственная прямая.
• Отрезок имеет два конца, луч — один конец, прямая не имеет концов.
• Угол состоит из двух лучей с общим началом; общее начало называется вершиной.
• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Многоугольник — замкнутая ломаная и её внутренняя область.
• Порядок букв в обозначении луча и угла имеет значение.