"Математика", Чекин А.Л.
Построение треугольника — это получение фигуры с заданными сторонами и углами с помощью линейки и циркуля. Такой способ помогает точно воспроизводить геометрические фигуры и решать задачи, когда известны не все вершины, а только некоторые элементы. При построении по трём сторонам третью вершину находят по пересечению окружностей, а до начала работы проверяют, существует ли такой треугольник. После построения нужно сверить результат со всеми условиями задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Построить треугольник по заданным элементам — значит получить его с помощью линейки и циркуля, соблюдая указанные длины сторон и величины углов. Например, можно знать три стороны или две стороны и угол между ними. Это нужно, чтобы точно воспроизвести фигуру, а не просто нарисовать похожую от руки. Построение считается выполненным, когда полученный треугольник удовлетворяет каждому условию.
Циркуль — инструмент с двумя ножками: одна заканчивается иглой, а другой проводят линию. Чтобы перенести отрезок, циркуль раскрывают на его длину и, не меняя раскрытия, отмечают такое же расстояние в другом месте. Если поставить иглу в выбранную точку и вращать циркуль, получится окружность. Это позволяет переносить длины без линейки и задавать расстояния при построении.
Окружность с центром в данной точке и заданным радиусом — линия, все точки которой находятся от центра на расстоянии, равном радиусу. Радиусом здесь называют это расстояние, например длину отрезка от центра до любой точки окружности. При построении треугольника окружность показывает, где может находиться вершина, удалённая от центра на нужную длину. Поэтому окружность помогает превратить условие о стороне в набор возможных точек.
Неравенство треугольника — условие существования треугольника по трём заданным сторонам: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Если хотя бы для одной пары это неверно, из таких отрезков нельзя составить треугольник. Проверка нужна до чертежа, чтобы не тратить время на невозможное построение. Достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше самой большой.
Сначала выделяют известные элементы: записывают длины сторон и величины углов, если они заданы. Затем выбирают, что удобнее построить первым, — обычно это известная сторона или угол. После этого определяют, какими условиями должна обладать неизвестная вершина: например, быть на заданном расстоянии от двух уже отмеченных точек. Такой порядок помогает превратить текст задачи в последовательность точных действий.
При построении по трём сторонам сначала строят одну из них как основание. Из концов основания проводят окружности радиусами, равными двум оставшимся сторонам. Третья вершина должна находиться на обеих окружностях одновременно: расстояние до одного конца основания задаёт первая сторона, до другого — вторая. Поэтому точка их пересечения и даёт вершину, а соединение её с концами основания завершает треугольник.
Пересечение окружностей выполняет оба требования сразу: точка на первой окружности удалена от её центра на первый заданный отрезок, а точка на второй — на второй. Если окружности пересекаются в двух местах, вершину можно выбрать с любой стороны основания. Эти две точки расположены симметрично относительно основания, поэтому получаются зеркальные варианты одного и того же треугольника. Если пересечения нет, подходящей вершины не существует при выбранных данных.
Если заданы две стороны и угол между ними, строят первую сторону и используют её конец как вершину заданного угла. В этом конце проводят луч, образующий с первой стороной нужный угол, а на луче циркулем откладывают длину второй стороны. Выбор именно этого луча нужен, чтобы угол между сторонами совпал с условием. Соединив свободные концы сторон, получают третью сторону и завершённый треугольник.
Готовую фигуру проверяют по исходным данным, а не только по тому, что линии выглядят правильно. Сравнивают длины всех построенных сторон и величину заданного угла с условием; при построении по трём сторонам также проверяют неравенство треугольника. Проверка существования объясняет, почему окружности должны иметь общую точку. Если длины или угол не совпадают, нужно найти ошибку в переносе отрезка, выборе луча или построении окружности.
В таблице сопоставлены известные данные, первый шаг и способ найти вершину, которую ещё нужно определить. Строки о существовании и возможных положениях помогают заранее проверить, будет ли построение выполнимым и сколько вариантов может получиться. Пользуйся таблицей как кратким планом, а после чертежа обязательно сверяй его с условием.
| Заданные элементы | Начальное построение | Как найти третью вершину | Проверка |
|---|---|---|---|
| Три стороны | Построить одну сторону как основание | Пересечение окружностей с центрами в концах основания и радиусами, равными двум другим сторонам | Проверить неравенство треугольника и длины всех сторон |
| Две стороны и угол между ними | Построить одну сторону и заданный угол при её конце | Отложить вторую сторону на луче угла; её конец задаёт вершину | Сверить обе длины и угол между ними |
| Условие существования | Проверить сумму любых двух сторон | Если сумма двух меньших сторон не больше третьей, вершину построить нельзя | Для сторон a, b и c должно выполняться: a + b > c, a + c > b, b + c > a |
| Возможные положения третьей вершины | Рассмотреть пересечение двух окружностей | Одна или две точки пересечения по разные стороны основания | Два положения дают зеркальные треугольники |
Нужно построить треугольник, у которого известны все три стороны. Сначала проверим возможность: 3 + 4 > 5, значит, две меньшие стороны вместе длиннее самой большой. Другие неравенства тоже выполняются, поэтому можно переходить к построению.
Точка C подходит, потому что лежит на обеих окружностях и находится от концов основания на заданных расстояниях. Ответ: треугольник ABC построен. Вторую точку пересечения можно выбрать вместо C — получится зеркальное положение.
Здесь известны две стороны и угол именно между ними, поэтому одна сторона задаст основание, а угол нужно построить у её конца. Вторую сторону важно отложить на луче этого угла: иначе заданная величина не будет углом между сторонами. Получившийся конец второй стороны станет третьей вершиной.
Проверка подтверждает все данные задачи: известные стороны построены, а угол расположен между ними. Ответ: треугольник ABC построен по двум сторонам и углу между ними.
До использования циркуля выясним, могут ли три отрезка образовать замкнутую фигуру. Наибольшая сторона равна 6 см, а сумма двух остальных равна 2 + 3 = 5 см. Поскольку 5 не больше 6, условие существования нарушено.
Ответ: построить такой треугольник нельзя. Даже если расположить отрезки по прямой, их длины не позволят замкнуть треугольник.
Начинать построение по трём сторонам, не проверив условие существования, — значит рисковать получить окружности без общей точки. Так происходит, когда все данные сразу переносят на чертёж и забывают сравнить длины. Перед работой сложи две меньшие стороны и сравни результат с большей. Если сумма не больше большей стороны, построение невозможно.
При построении по двум сторонам можно отложить вторую длину не на луче заданного угла, а в другом направлении. Внешне треугольник получится, но угол между нужными сторонами окажется другим. Причина ошибки — невнимательное чтение слов «угол между ними». Проверь, что обе стороны образуют именно заданный угол в одной вершине.
Иногда за единственное решение принимают одну из двух точек пересечения окружностей. Это происходит, если рассматривают только часть чертежа по одну сторону основания. Проверь, есть ли пересечение и с другой стороны: оно может дать зеркальный вариант. Оба треугольника удовлетворяют тем же условиям.
Сам факт пересечения окружностей ещё не означает, что построение верно: можно задать неправильный радиус или выбрать основание неверной длины. Такие ошибки появляются при неточном переносе отрезка или путанице в данных. Сверь каждую сторону с условием и проверь, что центры окружностей стоят в концах построенного основания. При заданном угле отдельно проверь и его величину.
Для построений нужны знания о длине отрезка, угле и окружности, а также умение пользоваться линейкой и циркулем. Неравенство треугольника позволяет заранее понять, выполнима ли задача по трём сторонам, прежде чем начинать чертёж. Умение точно строить треугольники пригодится при решении задач на равенство треугольников. Оно также помогает строить другие геометрические фигуры по заданным элементам.
Зачем перед построением проверять неравенство треугольника?
Проверка показывает, могут ли заданные отрезки быть сторонами треугольника. Если сумма двух меньших сторон не больше самой большой, окружности не дадут подходящей вершины, и построение невозможно.
Как с помощью циркуля отложить отрезок заданной длины?
Раскрой циркуль на длину данного отрезка, поставив его ножки на концы этого отрезка. Не меняя раскрытия, поставь иглу в начало нового отрезка и отметь карандашом точку на нужном луче.
Почему при построении по трём сторонам проводят две окружности?
Искомая вершина должна находиться на заданном расстоянии от каждого из концов уже построенной стороны. Каждая окружность задаёт одно такое расстояние, а их пересечение удовлетворяет обоим условиям.
Всегда ли построенный по условию треугольник единственный?
Не всегда: две окружности могут пересекаться в двух точках, расположенных по разные стороны от основания. Получаются зеркальные треугольники одинаковой формы; обычно их считают одним вариантом с точностью до отражения.
Что делать, если окружности при построении не пересекаются?
Сначала проверь длины сторон и раскрытие циркуля, чтобы исключить ошибку. Если данные верны, проверь неравенство треугольника: при его нарушении построить треугольник невозможно.
Поупражняемся в построении треугольников
