7.1. Что такое треугольник?

Определения и обозначения

Треугольник — замкнутая фигура, образованная тремя отрезками, которые последовательно соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Замкнутая значит, что отрезки соединены концами и граница фигуры не имеет разрыва. Это определение помогает отличить треугольник от открытой ломаной или прямой линии.

Вершина треугольника — точка, в которой сходятся две его стороны. Вершины обозначают заглавными латинскими буквами: например, A, B и C. Буквенные обозначения нужны, чтобы называть элементы фигуры и ясно объяснять, о какой точке идёт речь.

Сторона треугольника — один из трёх отрезков, образующих его границу. Её обозначают по двум концам: отрезок между точками A и B — сторона AB, между B и C — BC, между C и A — CA. Такая запись показывает, какие именно вершины соединены.

Угол треугольника образован двумя сторонами с общей вершиной. Поэтому угол при вершине A называют углом A, при B — углом B, а при C — углом C. Обозначение по вершине помогает найти угол, не перепутав его со сторонами или углами при других точках.

Как это устроено

Для треугольника нужны три точки, не лежащие на одной прямой. Если все точки расположены на одной прямой, соединяющие их отрезки тоже окажутся на этой линии: отдельной области внутри и треугольного контура не получится. Когда же точки не лежат на одной прямой, соединение каждой пары создаёт направление границы, и отрезки могут замкнуть фигуру. Так возникает простейший многоугольник — фигура с замкнутой границей из отрезков.

Три стороны соединяются попарно: первая вершина соединяется со второй, вторая — с третьей, а третья — с первой. Последнее соединение необходимо, чтобы вернуться к начальной точке и закрыть контур. Если оставить одну пару вершин несоединённой, получится незамкнутая ломаная: её концы не встретятся, поэтому треугольника не будет. Проверяя фигуру, проследи весь путь от одной вершины и убедись, что он возвращает тебя туда, откуда начался.

У треугольника ровно три вершины, потому что он образован тремя точками, где встречаются соседние отрезки. Каждая сторона имеет два конца, поэтому соединяет две вершины; всего таких соединений между соседними точками три. В каждой вершине встречаются две стороны, и именно они образуют угол. Значит, трём точкам соответствуют три места встречи сторон и три угла, а не больше и не меньше.

Треугольник называют по его вершинам, например ABC. Чтобы запись показывала обход фигуры, перечисляй буквы подряд, двигаясь по контуру: от A к B, затем к C и обратно к A. При таком обходе допустимо начать с любой вершины и идти в любом направлении, например назвать ту же фигуру BCA или ACB. Но нельзя выбирать буквы в произвольном порядке, если соседние буквы в записи не соответствуют соседним вершинам контура: иначе название будет путать расположение сторон.

Элементы треугольника

Пользуйся таблицей, когда нужно перечислить элементы заданного треугольника. Сначала найди три точки, затем назови соединяющие их отрезки и углы при этих точках. Буквы в названиях сторон помогают проверить, какие вершины они соединяют.

Разбор задач

Определяем треугольник

На рисунке изображены треугольник и незамкнутая ломаная. Нужно определить, какая из фигур является треугольником. По внешнему виду можно ошибиться, поэтому проверим каждую фигуру по определению: нужны три отрезка и замкнутая граница. Важно проверить оба условия, а не только посчитать линии.

1. Посчитаем отрезки в каждой фигуре: у треугольника их три, у незамкнутой ломаной тоже могут быть три.
2. Проследим контур каждой фигуры от начала по всем отрезкам. У треугольника путь заканчивается в начальной вершине, потому что последняя сторона замыкает границу.
3. У незамкнутой ломаной концы остаются раздельными. Значит, её граница имеет разрыв и фигура не подходит под определение треугольника.

Ответ: треугольником является замкнутая фигура из трёх отрезков; незамкнутая ломаная треугольником не является. В похожем задании сначала считай отрезки, а затем обязательно проверяй, соединены ли концы контура. Один только подсчёт сторон не позволяет сделать вывод.

Называем элементы треугольника ABC

Дан треугольник ABC. Нужно назвать его вершины, стороны и углы. Название подсказывает три вершины, но стороны и углы следует определить по тому, как они расположены. Будем двигаться по контуру от A к B, затем к C и обратно к A.

1. Выпишем вершины: это точки A, B и C, указанные в названии фигуры.
2. Запишем стороны как отрезки между соседними точками обхода: AB, BC и CA. У каждого отрезка два конца, поэтому обе буквы обозначают его вершины.
3. Найдём углы по месту, где сходятся две стороны. Стороны AB и AC встречаются в A, BC и BA — в B, а CA и CB — в C.
4. Проверим результат: получилось по три вершины, стороны и угла. Это соответствует устройству треугольника.

Ответ: вершины — A, B, C; стороны — AB, BC, CA; углы — при вершинах A, B, C. При перечислении сторон следи, чтобы каждая соединяла соседние вершины, а при назывании угла указывай точку встречи его сторон. Так элементы не перепутаются.

Строим и называем треугольник

Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Их нужно соединить отрезками AB, BC и CA, записать название полученной фигуры и перечислить её элементы. Условие о расположении точек важно: оно позволяет получить замкнутую фигуру, а не прямую линию. Проверим построение по контуру и затем назовём элементы.

1. Соединим A с B, B с C и C с A. Последний отрезок возвращает нас к начальной точке, поэтому граница замкнута.
2. Пройдём по контуру: A, затем B, затем C. Значит, полученную фигуру можно назвать треугольником ABC.
3. Назовём вершины: A, B и C. Сторонами будут отрезки AB, BC и CA.
4. Углы находятся там, где встречаются две стороны: при A сходятся AB и AC, при B — AB и BC, при C — BC и CA.
5. Сверим число элементов: три точки-вершины, три соединяющих их стороны и три угла.

Ответ: получен треугольник ABC; его вершины — A, B, C, стороны — AB, BC, CA, углы — при вершинах A, B, C. Запись названия соответствует обходу по контуру. Если начать обход с другой вершины или пойти в обратном направлении, название можно изменить, сохраняя соседство букв.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать треугольником три отрезка, которые не образуют замкнутый контур. Так бывает, если посчитать линии и не проверить, соединены ли их концы. Проведи пальцем путь по границе: если он не возвращается к началу, фигура не замкнута и это не треугольник.

Ошибка: считать треугольником три точки на одной прямой. Кажется, что точек и соединений достаточно, но все отрезки располагаются вдоль одной линии и не окружают область. Проверь расположение точек: если их можно отметить на одной прямой, треугольную фигуру они не образуют.

Ошибка: путать вершину со стороной. Причина часто в том, что и точка, и отрезок обозначаются буквами. Помни: вершина — место встречи сторон, а сторона — отрезок между вершинами; проверь себя вопросом, можно ли этот элемент измерить как отрезок.

Ошибка: записать название треугольника в произвольном порядке. Тогда соседние буквы могут обозначать точки, между которыми нет стороны, и запись перестанет соответствовать обходу границы. Проверь название, двигаясь от первой буквы к следующей по контуру: каждый переход должен вести к соседней вершине.

Связь с другими темами

Для работы с треугольником нужно знать, что такое точка, прямая и отрезок, а также уметь обозначать их буквами. Эти понятия помогают понять, из каких частей складывается фигура и как записывать её элементы. Позже треугольники будут изучать подробнее: сравнивать их виды, измерять стороны и углы, находить периметр. Поэтому умение узнавать вершины и стороны станет основой для новых задач.

Что запомнить

• Треугольник — замкнутая фигура из трёх отрезков.
• Три вершины треугольника не лежат на одной прямой.
• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Сторона соединяет две вершины.
• Каждый угол образован сторонами с общей вершиной.
• Треугольник называют по его вершинам, перечисляя их по контуру.