7.2. Элементы треугольника

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, соединяющими три не лежащие на одной прямой точки. Такое определение помогает отличить треугольник от незамкнутой линии или фигуры, полученной из точек на одной прямой.

Вершины треугольника — три точки, в которых соединяются его стороны. Их обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B и C. По этим буквам удобно называть сам треугольник и его углы.

Стороны треугольника — три отрезка, соединяющие его вершины. Сторону называют двумя буквами концов отрезка: AB, BC или AC. Поэтому одна буква обозначает точку, а две буквы подряд — отрезок между точками.

Углы треугольника — три угла, образованные его сторонами у соответствующих вершин. Треугольник называют по трём вершинам, например △ABC, а угол записывают тремя буквами так, чтобы его вершина была в середине: ∠ABC.

Как это устроено

Пусть есть три точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой. Чтобы получить треугольник, соединяют каждую пару точек: A с B, B с C и A с C. Других пар среди трёх точек нет, поэтому получаются ровно три отрезка AB, BC и AC, которые замыкают фигуру.

Число вершин, сторон и углов связано с тремя исходными точками. Каждая исходная точка становится одной вершиной, а каждая пара точек даёт одну сторону. У каждой вершины встречаются две стороны, поэтому при каждой из трёх вершин образуется один внутренний угол.

Вершина, сторона и угол связаны между собой. Например, у вершины B сходятся стороны BA и BC, поэтому они образуют угол при вершине B. Если одна из сторон не проходит через выбранную вершину, она не образует её угол.

Название треугольника составляют из букв его трёх вершин: △ABC. Буквы можно переставлять, потому что фигура остаётся той же: △BCA и △CAB обозначают тот же треугольник. Для стороны нужны только две буквы её концов, а для угла — три буквы с вершиной в середине.

Чтобы найти элемент по условию, сначала определяют, что именно названо: точка, отрезок или угол. Затем проверяют рисунок: вершина должна быть точкой треугольника, сторона — одним из трёх его отрезков, а угол — внутренним углом с вершиной треугольника. Такая проверка не позволяет принять за элемент внешнюю линию или случайный угол.

Элементы треугольника и их обозначения

Пользуйтесь таблицей как подсказкой: сначала определите вид элемента, затем посмотрите, сколько букв нужно для его записи. Для угла отдельно проверьте среднюю букву, а для стороны — что две буквы являются концами одного отрезка.

Количество элементов помогает проверить ответ. Если названы четыре вершины или только две стороны, значит, какой-то элемент найден неправильно или пропущен.

Разбор задач

Задача 1

Условие: На рисунке изображён треугольник ABC. Назовите его вершины, стороны и углы.

1. Вершины уже указаны буквами A, B и C, значит, это три точки треугольника.
2. Соединяем пары букв и получаем стороны AB, BC и AC. Каждая такая пара должна соответствовать нарисованному отрезку.
3. При вершинах A, B и C находятся внутренние углы: ∠BAC, ∠ABC и ∠ACB. Средняя буква каждого угла показывает его вершину.

Ответ: вершины A, B, C; стороны AB, BC, AC; углы ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB.

Задача 2

Условие: Дан треугольник MNK. Запишите его стороны и угол, расположенный при вершине N.

1. Стороны получаем, соединяя каждую пару вершин: MN, NK и MK.
2. Угол при N должен иметь букву N в середине обозначения, потому что средняя буква всегда обозначает вершину угла.
3. Две стороны, сходящиеся в N, — NM и NK, поэтому искомый угол можно записать как ∠MNK.

Ответ: стороны MN, NK, MK; угол при вершине N — ∠MNK.

Задача 3

Условие: Из точек A, B и C составлены отрезки AB, BC и AC. Определите, является ли полученная фигура треугольником, и назовите все её элементы.

1. Проверяем главное условие: точки A, B и C не должны лежать на одной прямой. Если это условие выполнено, три отрезка замыкают фигуру.
2. Отрезки AB, BC и AC соединяют каждую пару точек, значит, они являются тремя сторонами фигуры.
3. После этого называем вершины A, B, C и углы, расположенные при них: ∠BAC, ∠ABC и ∠ACB.

Ответ: если точки не лежат на одной прямой, полученная фигура — треугольник ABC; его вершины A, B, C, стороны AB, BC, AC и углы ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB.

Типичные ошибки

Иногда сторонами называют точки A, B и C. Это происходит потому, что ученик видит буквы на концах линий, но забывает: сторона — отрезок, а не его конец. Проверьте себя вопросом «Можно ли провести по этому элементу линию от одной вершины к другой?».

Другой промах — обозначить сторону одной буквой или буквами, которые не являются её концами. Так теряется информация о самом отрезке. Сверьте запись с рисунком: у стороны всегда две буквы и обе стоят в её концах.

За угол треугольника иногда принимают любой угол, видимый рядом с фигурой. Внешний угол может находиться около вершины, но он образован продолжением стороны и не является внутренним углом треугольника. Проверьте, что угол расположен внутри фигуры и его вершина совпадает с одной из трёх вершин.

При записи угла буквы могут переставить так, что средняя буква окажется не его вершиной. Тогда получится обозначение другого угла или неверная запись. Перед ответом найдите вершину угла на рисунке и поставьте её букву в середину.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны представления о точке, отрезке, луче и угле, а также умение обозначать геометрические фигуры заглавными буквами. Эти знания позволяют понимать, из чего состоит треугольник и как читать его запись.

Позже элементы треугольника понадобятся при изучении его видов, измерении длин сторон и углов, вычислении периметра. Правильные обозначения помогают разбирать чертежи и решать геометрические задачи без путаницы.

Что запомнить

• Треугольник состоит из трёх сторон, трёх вершин и трёх углов.
• Вершины треугольника не лежат на одной прямой.
• Сторона треугольника — отрезок, соединяющий две его вершины.
• Угол треугольника образован двумя сторонами, сходящимися в одной вершине.
• Треугольник обозначают тремя заглавными буквами его вершин.
• Сторону называют двумя буквами её концов.
• При обозначении угла вершину записывают в середине.