7.3. Виды треугольников

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Это название помогает сразу заметить особое равенство сторон и использовать его при решении задач.

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны. В нём нет отдельной пары боковых сторон и основания по длине: все стороны одинаковы. Такой вид легко узнать по трём равным сторонам.

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Прямой угол часто отмечают маленьким квадратиком. Это определение позволяет определить вид фигуры по углам, даже если длины сторон неизвестны.

Тупоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол тупой, то есть больше 90°. Если все три угла острые, треугольник называют остроугольным. Так различают фигуры по величинам углов.

Как это устроено

Треугольники классифицируют по длинам сторон и по величинам углов. Это два разных основания классификации: в первом случае сравнивают отрезки, а во втором — раскрытие углов. Поэтому одна и та же фигура может получить по одному названию каждого вида.

По сторонам выделяют равносторонние, равнобедренные и разносторонние треугольники. Если равны все три стороны, то равны и любые две из них, поэтому равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного. Разносторонний треугольник отличается тем, что среди его сторон нет равных.

По углам треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Основанием для выбора названия служит наличие прямого или тупого угла: один угол 90° даёт прямоугольный вид, один угол больше 90° — тупоугольный. Если таких углов нет, все углы остаются острыми, и треугольник называют остроугольным.

Сумма трёх углов треугольника равна 180°. Два прямых угла уже составили бы 180°, а для третьего угла места не осталось, поэтому двух прямых углов быть не может. Два тупых угла тем более невозможны, а если один угол прямой или тупой, остальные должны быть острыми.

Обе классификации применяют одновременно, потому что они описывают разные свойства фигуры. Например, у треугольника могут быть две равные стороны и один прямой угол, значит, он равнобедренный по сторонам и прямоугольный по углам. Чтобы правильно назвать фигуру, сначала нужно понять, по какому признаку спрашивают её вид.

Виды треугольников по сторонам и углам

Сначала определите основание классификации: сравниваются стороны или углы. Затем найдите в условии нужный признак и выберите соответствующую строку таблицы. Если даны и стороны, и углы, можно назвать два вида одного треугольника.

Разбор задач

Задача 1

У треугольника стороны 5 см, 5 см и 7 см. Определим его вид по сторонам. Для этого не нужно знать величины углов, достаточно сравнить длины трёх сторон.

1. Запишем длины сторон: 5 см, 5 см и 7 см.
2. Найдём равные стороны: две стороны имеют длину 5 см.
3. По признаку равенства двух сторон треугольник является равнобедренным.

Ответ: равнобедренный треугольник.

Задача 2

Углы треугольника равны 45°, 45° и 90°. Нужно определить его вид по углам и по сторонам. Сначала используем прямой угол, а затем связь равных углов с противолежащими сторонами.

1. Один угол равен 90°, значит, треугольник прямоугольный.
2. Два других угла равны: 45° и 45°.
3. Против равных углов лежат равные стороны, поэтому две стороны равны.
4. По сторонам треугольник равнобедренный.

Ответ: треугольник прямоугольный по углам и равнобедренный по сторонам.

Задача 3

Два угла треугольника равны 35° и 65°. Найдём третий угол и определим вид треугольника по углам. Используем то, что сумма углов любой треугольной фигуры равна 180°.

1. Сложим известные углы: 35° + 65° = 100°.
2. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 100° = 80°.
3. Третий угол равен 80° и тоже меньше 90°.
4. Все три угла острые, поэтому треугольник остроугольный.

Ответ: третий угол равен 80°, треугольник остроугольный.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Равнобедренный и равносторонний считают взаимоисключающими видами. Так происходит из-за привычки связывать равнобедренный только с двумя равными сторонами. Проверьте, есть ли у равностороннего треугольника хотя бы две равные стороны: если есть, он подходит и под это определение.

Ошибка 2. Название по сторонам путают с названием по углам. Причина в том, что ученик ищет только одно название, хотя основания классификации разные. Спросите себя, что сравнивается в условии: стороны или углы.

Ошибка 3. Угол считают прямым или тупым только по внешнему виду рисунка. Неровный чертёж может обмануть, поэтому зрительного впечатления недостаточно. Сравните угол с 90° по условию, измерением или специальной отметке прямого угла.

Ошибка 4. Иногда предполагают, что у треугольника могут быть два прямых или два тупых угла. Это невозможно, потому что сумма углов равна 180°, а два тупых угла уже дают больше 180°. При проверке сложите известные углы и сравните результат с 180°.

Связь с другими темами

До изучения видов треугольников нужно уметь измерять углы и сравнивать длины отрезков. Эти навыки помогают не угадывать вид фигуры по рисунку, а находить его по точным данным. Также полезно знать, что прямой угол равен 90°.

Классификация треугольников понадобится при изучении их свойств и построений. Она помогает выбирать нужное правило и находить неизвестные углы. Например, сумма углов позволяет вычислять третий угол, если известны два других.

Что запомнить

• Треугольники классифицируют по сторонам и по углам.
• У равностороннего треугольника все стороны равны.
• У равнобедренного треугольника равны две стороны.
• У разностороннего треугольника все стороны различны.
• В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°.
• В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°.
• Сумма углов треугольника равна 180°.