"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Треугольник можно построить не из любых трёх отрезков: длина каждой его стороны должна быть меньше суммы длин двух других. Это правило называют неравенством треугольника. Оно помогает заранее проверить, получится ли фигура с заданными длинами, а если известны две стороны — определить возможные длины третьей. Для быстрой проверки достаточно найти самый длинный отрезок и сравнить его с суммой двух остальных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Треугольник — многоугольник, состоящий из трёх отрезков-сторон, соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой. Иначе говоря, отрезки должны замкнуться в фигуру с тремя вершинами, а не вытянуться в одну линию. Это определение помогает отличить настоящий треугольник от трёх отрезков, которые не могут его образовать.
Стороны треугольника — три отрезка, образующие треугольник; их длины обозначают буквами, соответствующими сторонам. Например, длины можно обозначить a, b и c. Буквы удобны, когда нужно записать общее правило или решить задачу, не подставляя сразу конкретные числа.
Неравенство треугольника — утверждение о том, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Для сторон a, b и c это записывают так: a < b + c, b < a + c, c < a + b. По этому правилу можно проверить, получится ли треугольник из отрезков заданной длины.
Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон. Если длины сторон равны a, b и c, то периметр P = a + b + c. Периметр показывает общую длину границы фигуры, а не проверяет, можно ли построить треугольник; для такой проверки используют неравенство треугольника.
Представь две точки A и B, а между ними третью точку C, расположенную в стороне. Из A в B можно пройти прямо по отрезку AB или свернуть через C по ломаной ACB. Прямой отрезок короче такого пути: поворот добавляет расстояние, потому что части пути идут в разных направлениях. Поэтому AB < AC + CB, и такое же сравнение справедливо для каждой стороны треугольника.
Обозначим стороны треугольника буквами a, b и c. Если пройти вдоль сторон b и c, то получим путь между концами стороны a, но этот путь с поворотом длиннее прямого отрезка a. Значит, a < b + c; точно так же рассуждаем для сторон b и c. Получаются сразу три неравенства: a < b + c, b < a + c и c < a + b.
Неравенство треугольника — необходимое условие существования треугольника с заданными длинами. «Необходимое» значит, что без него треугольник точно не построить: две стороны не смогут встретиться концами так, чтобы получилась замкнутая фигура. Если длины условие выполняют, отрезки можно соединить в треугольник; это проверяют до построения, чтобы не тратить время на заведомо невозможную фигуру.
Чтобы проверить три длины, найди самую большую и сложи две остальные. Например, если длины равны 4, 6 и 9, достаточно сравнить 9 и 4 + 6. Если наибольшая сторона меньше этой суммы, остальные сравнения тоже выполняются: каждая меньшая сторона меньше самой большой стороны, а значит, тем более меньше её суммы с третьей. Так одна проверка заменяет сразу три.
Знак должен быть именно строгим: наибольшая сторона должна быть меньше суммы двух других, а не равна ей. Если, например, два коротких отрезка в сумме дают ровно 10 см, а длинный тоже равен 10 см, при соединении их концы окажутся на одной прямой. Получится не треугольник, а прямая линия, поэтому равенство не подходит.
| Наибольшая сторона | Сумма двух других сторон | Сравнение | Вывод |
|---|---|---|---|
| Меньше суммы двух других | Больше наибольшей стороны | Наибольшая сторона < суммы | Треугольник существует |
| Равна сумме двух других | Равна наибольшей стороне | Наибольшая сторона = сумме | Треугольник не существует: отрезки лежат на одной прямой |
| Больше суммы двух других | Меньше наибольшей стороны | Наибольшая сторона > суммы | Треугольник построить нельзя |
| c — наибольшая из a, b, c | a + b | c < a + b | Общее условие: достаточно проверить наибольшую сторону |
Сначала расположи длины по возрастанию или просто найди самую большую. Затем сравни её с суммой двух оставшихся и выбери вывод в соответствующей строке таблицы. Равенство не считай подходящим условием: нужен знак «меньше».
Проверим длины до построения, чтобы понять, смогут ли отрезки замкнуться. Наибольшая сторона здесь 5 см, поэтому сравнивать её нужно с суммой 3 см и 4 см. Если сумма окажется больше 5 см, условие выполняется.
Ответ: треугольник построить можно.
Снова выберем самый длинный отрезок. Если он длиннее, чем два других вместе, короткие стороны не смогут соединиться и закрыть фигуру. Поэтому сравнение наибольшей стороны с суммой двух остальных сразу даст ответ.
Ответ: треугольник построить нельзя.
Обозначим длину неизвестной стороны через a. Она должна быть меньше суммы известных сторон, иначе не замкнётся фигура; одновременно она должна быть больше их разности, иначе более длинная сторона окажется не меньше суммы двух остальных. Запишем оба ограничения и оставим только целые числа, которые строго находятся между ними.
Ответ: третья сторона может иметь целую длину от 4 до 12 см включительно.
Иногда проверяют одно неравенство, но случайно выбирают не наибольшую сторону. Если меньшая сторона меньше суммы двух остальных, это ещё не гарантирует, что длинный отрезок сможет замкнуть фигуру. Найди наибольшую длину и сравни её с суммой двух других — так проверка будет надёжной.
Другая ошибка — заменить знак «меньше» на «меньше или равно». Равенство кажется подходящим, потому что длины сходятся, но при нём отрезки выстраиваются в прямую, а треугольника нет. Проверь себя: в итоговом сравнении между наибольшей стороной и суммой должен стоять знак <, а не ≤ или =.
Нельзя сравнивать одну сторону только с одной другой стороной. Например, то, что 8 см больше 5 см, ничего не говорит о возможности построить треугольник; важно сравнить 8 с суммой двух оставшихся сторон. Всегда складывай две другие длины и только потом сравнивай результат с выбранной стороной.
Периметр тоже не заменяет проверку существования: формула P = a + b + c лишь складывает все три длины. Можно верно найти периметр набора отрезков, которые не образуют треугольник. Сначала проверь неравенство треугольника, а периметр вычисляй отдельно, если этого требует задача.
Для этой темы понадобятся понятия отрезка и его длины, а также умение сравнивать числа, складывать и вычитать величины. Неравенство треугольника связано с построением геометрических фигур циркулем и линейкой: оно позволяет заранее выяснить, можно ли соединить три отрезка в треугольник. Дальше это правило пригодится при изучении свойств треугольников, нахождении периметра и решении задач на неизвестную длину стороны.
Почему достаточно проверить только наибольшую сторону?
Если наибольшая сторона меньше суммы двух остальных, то и каждая из меньших сторон меньше суммы двух сторон. Например, для сторон a ≤ b ≤ c из c < a + b следует, что b < a + c и a < b + c. Поэтому достаточно одной проверки.
Можно ли построить треугольник, если две стороны в сумме равны третьей?
Нет. При равенстве два коротких отрезка можно уложить вдоль самого длинного, но они образуют прямую линию, а не треугольник. Для треугольника сумма двух сторон должна быть строго больше третьей.
Почему в неравенстве треугольника используется знак «меньше», а не «меньше или равно»?
Равенство означает, что длина одной стороны точно равна сумме длин двух других. Тогда отрезки выстраиваются в одну прямую и замкнутой треугольной фигуры не получается. Поэтому нужен строгий знак «меньше».
Как найти возможные значения неизвестной стороны треугольника?
Вычти меньшую из известных сторон из большей, а затем сложи известные стороны. Неизвестная длина должна быть строго больше разности и строго меньше суммы: |b − c| < a < b + c. Если нужны целые значения, выпиши целые числа только между этими границами.
Нужно ли проверять неравенство, если стороны уже изображены на рисунке?
Если длины сторон заданы, условие нужно проверить: рисунок может быть схематичным и не показывать настоящие размеры. Если треугольник уже построен правильно, его стороны, конечно, удовлетворяют неравенству. Для задач с заданными длинами надёжнее выполнить сравнение.
7.4. Неравенство треугольника
