Виды треугольников

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник с тремя сторонами, тремя вершинами и тремя углами. Стороны соединяют вершины, а углы образуются при их пересечении. Это определение помогает отличить треугольник от других многоугольников.

Равносторонний, равнобедренный и разносторонний треугольники — виды треугольников, различающиеся количеством равных сторон. У равностороннего равны три стороны, у равнобедренного — две, у разностороннего равных сторон нет. Такое разделение позволяет быстро установить свойства фигуры по её сторонам.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники — виды треугольников, различающиеся величинами углов. В остроугольном все углы меньше 90°, в прямоугольном один угол равен 90°, а в тупоугольном один угол больше 90°. За ориентир берут прямой угол, величина которого равна 90°.

Классификация треугольников — распределение треугольников по сторонам и по углам. Один и тот же треугольник можно назвать, например, равнобедренным по сторонам и прямоугольным по углам. Поэтому при описании фигуры важно проверять оба признака.

Как это устроено

Сначала сравнивают длины всех трёх сторон. Если они равны между собой, треугольник равносторонний; если равны только две, равнобедренный; если длины различны, разносторонний. Такое сравнение приводит к трём видам, потому что у трёх отрезков возможны именно эти варианты равенства.

В равнобедренном треугольнике две равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Равенство боковых сторон приводит к равенству углов, лежащих напротив них, поэтому углы при основании одинаковы. Это свойство помогает находить неизвестный угол и не путать основание с боковой стороной.

Для классификации по углам каждый угол сравнивают с прямым углом. Если все углы меньше 90°, треугольник остроугольный; если один равен 90°, он прямоугольный; если один больше 90°, он тупоугольный. Других вариантов нет, поскольку сумма трёх углов треугольника равна 180°.

Двух прямых углов быть не может: их сумма уже равна 180°, а третий угол должен быть положительным. Два тупых угла тем более невозможны, потому что каждый из них больше 90°, и их сумма превысила бы 180°. Поэтому в треугольнике бывает не более одного прямого или тупого угла.

Чтобы назвать треугольник полностью, проводят две независимые проверки. Сначала сравнивают стороны, затем углы с 90°, после чего соединяют результаты: например, равнобедренный тупоугольный или разносторонний прямоугольный. Один признак не заменяет другой, потому что длины сторон и величины углов описывают разные свойства фигуры.

Виды треугольников по сторонам и углам

Пользуйтесь таблицей в два этапа: сначала найдите строку по сторонам, затем строку по углам. В результате у треугольника могут оказаться два названия. Пустые ячейки означают, что для этого вида в таблице не указано отдельное свойство.

Разбор задач

Задача 1

Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см. Требуется определить его вид по сторонам. Сравним все три длины, не обращаясь к углам.

1. Выпишем длины: 5 см, 5 см и 8 см.
2. Увидим, что две стороны имеют одинаковую длину — по 5 см.
3. Третья сторона отличается, поэтому основанием можно считать сторону длиной 8 см.

Ответ: треугольник равнобедренный. Его боковые стороны равны 5 см, а основание равно 8 см.

Задача 2

Углы треугольника равны 35°, 55° и 90°. Определим вид по углам и проверим, можно ли назвать его по сторонам. Для второй классификации в условии не даны длины сторон.

1. Среди углов есть угол 90°.
2. Следовательно, по углам треугольник прямоугольный.
3. Сравнить длины сторон по приведённым данным нельзя, поэтому вид по сторонам однозначно не устанавливаем.

Ответ: треугольник прямоугольный. По сторонам его вид по условию определить нельзя, поскольку длины сторон не указаны.

Задача 3

Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, основание — 10 см. Известны углы 40°, 40° и 100°. Найдём боковые стороны и определим оба вида треугольника.

1. Две боковые стороны равны, поэтому обозначим каждую через x.
2. Составим уравнение: x + x + 10 = 26.
3. Получим 2x = 16, значит x = 8 см.
4. Угол 100° больше 90°, поэтому треугольник тупоугольный.

Ответ: боковые стороны равны по 8 см. По сторонам треугольник равнобедренный, а по углам — тупоугольный.

Типичные ошибки

Иногда треугольник называют равносторонним, если равны только две стороны. Такая ошибка возникает из-за смешения слов «равносторонний» и «равнобедренный». Проверьте все три длины: для равностороннего равенство должно выполняться у каждой пары сторон.

Основанием равнобедренного треугольника считают любую выбранную сторону. На самом деле основание — сторона, которая не равна двум боковым. Чтобы проверить себя, найдите пару равных сторон: третья сторона и есть основание.

Прямоугольным называют треугольник с углом, близким к 90°. При измерении чертежа возможна небольшая погрешность, но определяющим является ровно 90°. Сверяйте значение угла по условию или проверяйте, равна ли сумма трёх углов 180°.

Вид по сторонам пытаются определить по одному углу, а вид по углам — только по длинам сторон без нужного сравнения. Причина ошибки — смешение двух оснований классификации. Сначала уточните, что требуется сравнить: три длины или величины углов.

Связь с другими темами

До изучения видов треугольников нужно знать понятия стороны, вершины и угла, а также уметь сравнивать отрезки и распознавать прямой угол. Эти знания позволяют правильно читать условие и выбирать основание классификации.

Классификация пригодится при нахождении неизвестных углов и сторон, вычислении периметра и площади. Позже свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников помогут решать геометрические задачи.

Что запомнить

• Треугольники классифицируют по сторонам и по углам.
• Равносторонний треугольник имеет три равные стороны и три угла по 60°.
• В равнобедренном треугольнике равны две стороны и углы при основании.
• В разностороннем треугольнике все стороны различны.
• В остроугольном треугольнике все углы острые.
• В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°.
• В тупоугольном треугольнике один угол тупой.