"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Письменные вычисления помогают выполнять действия с многозначными числами по понятному порядку и не терять цифры в длинных примерах. Числа записывают так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки — под десятками, а вычисления проводят по разрядам. При сложении переносят единицы, при вычитании разменивают старший разряд, при умножении складывают частичные произведения, а при делении шаг за шагом находят цифры частного. Проверка помогает обнаружить ошибку.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Письменное сложение — способ сложить числа, записав их одно под другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов оказались в одном столбце. Цифры складывают по разрядам, а если получается больше девяти, одну десятку переносят в следующий столбец. Такая запись помогает не смешивать единицы, десятки и сотни и выполнять действие по шагам.
Письменное вычитание — вычитание чисел, записанных разряд под разрядом, справа налево. Если цифры уменьшаемого в разряде не хватает, одну единицу старшего разряда заменяют десятью единицами соседнего. Размен нужен, чтобы вычесть число, не меняя значения уменьшаемого.
Письменное умножение — нахождение произведений разрядных слагаемых множителя с последующим сложением полученных частичных произведений. Например, при умножении на двузначное число отдельно учитывают его единицы и десятки. Такая запись делает вычисление длинного произведения последовательным и понятным.
Письменное деление — способ найти частное, последовательно выделяя подходящие части делимого и определяя цифры частного. На каждом шаге найденную цифру умножают на делитель и вычитают результат из выбранной части. Так можно контролировать каждый шаг и учитывать остаток, если деление не заканчивается без него.
В записи многозначного числа каждая цифра связана со своим разрядом: например, 3 в числе 368 означает 3 сотни, а 6 — 6 десятков. Поэтому при сложении и вычитании числа ставят так, чтобы одинаковые разряды располагались друг под другом. Тогда столбец единиц показывает действие с единицами, столбец десятков — с десятками. Перенос и размен сохраняют общее значение числа, только меняют способ представления его частей.
Сложение начинают с единиц, потому что каждая цифра следующего разряда зависит от результата в предыдущем. Складывают цифры столбца и, если сумма не меньше 10, записывают её единицы, а один десяток передают в столбец слева. Например, сумма 14 единиц — это 4 единицы и 1 десяток. Перенесённый десяток добавляют к цифрам десятков, а не записывают отдельной цифрой в готовый ответ.
При вычитании единиц может не хватить: например, из 2 единиц нельзя вычесть 7 единиц. Тогда один десяток уменьшаемого заменяют десятью единицами, и в столбце единиц становится 12. Число не изменилось: один десяток равен десяти единицам. Если в соседнем разряде стоит ноль, размен продолжают влево до первого разряда, где есть ненулевая цифра; после передачи единицы промежуточные нули превращаются в 9.
При умножении на многозначное число каждый разряд множителя задаёт отдельное разрядное слагаемое. Поэтому сначала получают частичные произведения, а затем складывают их, как при раскрытии суммы: умножить на 23 — значит умножить на 3 и на 20, после чего сложить результаты. Произведение на десятки записывают со сдвигом на один разряд влево, потому что оно выражено в десятках; для сотен сдвиг был бы на два разряда. Так запись отражает разрядное значение множителя.
При делении цифры частного находят слева направо, начиная с первой части делимого, которая не меньше делителя. Подбирают цифру, чтобы её произведение на делитель не превысило выбранную часть, затем вычитают это произведение и приписывают следующую цифру делимого. Остаток становится началом следующей части. На каждом шаге он должен быть меньше делителя: иначе можно было бы выделить ещё одну группу и увеличить цифру частного.
| Действие | Как располагать числа | Основной ход вычисления | Что проверять |
|---|---|---|---|
| Сложение | Одно число под другим, разряд под разрядом; знаки «+» и черта слева и снизу. | Складывать справа налево; десяток переносить в следующий разряд. | Не пропущен ли перенос; верно ли сложены цифры каждого столбца. |
| Вычитание | Уменьшаемое сверху, вычитаемое снизу, одинаковые разряды в столбцах. | Вычитать справа налево; при нехватке разменять единицу старшего разряда. | Учтён ли размен и уменьшена ли цифра разряда, откуда взяли единицу. |
| Умножение | Множители записать один под другим; частичные произведения — одно под другим с учётом разрядов. | Умножить на цифры множителя по очереди, затем сложить частичные произведения. | Учтён ли разряд каждого слагаемого множителя и правильно ли выполнено сложение. |
| Деление с остатком | Делимое записать слева, делитель — справа, частное — под делителем. | Выделять часть делимого, подбирать цифру частного, умножать и вычитать. | Остаток меньше делителя; делитель × частное + остаток равно делимому. |
Сначала найди в таблице нужное действие и выбери соответствующую запись. Затем следи за его основным ходом, не пропуская перенос, размен или сдвиг частичного произведения. Последний столбец подсказывает, как проверить вычисление.
Вычислите письменно 368 + 457. Запишем числа так, чтобы единицы, десятки и сотни стояли в общих столбцах. Начинаем с единиц: сумма 8 и 7 превышает 9, значит, в столбце единиц останется 5, а десяток перейдёт к десяткам. Затем учитываем этот перенос при сложении десятков.
Ответ: 825. Переносы важны потому, что 15 единиц — это 1 десяток и 5 единиц, а 12 десятков — 1 сотня и 2 десятка. Так результат правильно собирается из разрядов.
Вычислите письменно 7002 − 3586. Единиц не хватает для вычитания 6 из 2, но непосредственно слева стоит ноль. Поэтому размен нужно выполнить через нулевые разряды: взять сотню из 7 тысяч, превратить её в десятки, а затем один десяток — в единицы. После размена можно вычитать каждую цифру по столбцам.
Ответ: 3416. Проверим обратным сложением: 3416 + 3586 = 7002. Значит, результат совпадает с уменьшаемым после прибавления вычитаемого.
Вычислите письменно 4368 : 24 и проверьте деление. Первые две цифры делимого дают 43, а это больше 24, поэтому с них можно начать деление. После выбора каждой цифры частного умножаем её на 24 и вычитаем произведение; затем к остатку приписываем следующую цифру делимого. Подбор проверяем тем, что произведение не больше текущей части.
Ответ: 182. Проверка: 24 × 182 = 4368, остатка нет. Равенство делитель × частное + остаток = делимое выполняется: 24 × 182 + 0 = 4368.
Если числа записаны не по разрядам, в одном столбце могут оказаться, например, единицы и десятки. Тогда складываются или вычитаются величины разного порядка, и ответ теряет смысл. Ошибку допускают, ориентируясь на край записи, а не на разряды. Проверяй, что последние цифры чисел стоят одна под другой, а каждый следующий столбец соответствует одному разряду.
При сложении иногда забывают перенести единицу или прибавляют её не к следующему разряду. Так происходит, когда внимание сосредоточено только на текущем столбце. После каждого сложения отдельно отметь перенос и добавь его к цифрам столбца слева. Проверка обратным сложением или прикидка по величине результата поможет заметить пропуск.
При вычитании можно разменять единицу, но оставить без изменения цифру старшего разряда. Тогда из числа фактически добавится лишнее количество единиц. Обычно эту ошибку допускают, не перечитывая запись после займа. Проверь, что разряд, откуда взяли единицу, уменьшен на 1, а в соседнем разряде прибавлено 10 единиц.
При умножении на десятки частичное произведение иногда записывают без сдвига, словно множитель обозначает единицы. Это меняет его разрядное значение и приводит к слишком маленькому результату. Сверь положение частичных произведений: при умножении на десятки запись сдвигается на один разряд. При делении не оставляй остаток, равный делителю или больший него: такую часть можно разделить ещё раз, поэтому цифру частного нужно пересмотреть.
Чтобы уверенно выполнять письменные действия, нужно знать, как многозначное число раскладывается на разрядные слагаемые, и помнить таблицу умножения. Свойства действий помогают понимать, почему можно отдельно вычислить части числа и затем соединить результаты. Эти знания нужны не только для устного счёта: без них трудно следить за переносами, разменами и частичными произведениями.
Письменные алгоритмы служат опорой при вычислениях с десятичными дробями: там также учитывают разряды, хотя дополнительно следят за запятой. Они пригодятся при решении уравнений и текстовых задач, когда нужно точно выполнить несколько действий с большими числами. Умение проверить результат помогает убедиться, что ответ подходит условию задачи.
Зачем записывать числа разряд под разрядом?
Так единицы складываются или вычитаются только с единицами, десятки — с десятками. Это сохраняет значение каждой цифры и упорядочивает вычисления.
Что делать, если при сложении сумма цифр разряда больше девяти?
Записать в этом разряде последнюю цифру суммы, а десяток перенести в следующий разряд слева. Например, при сумме 14 записывают 4, а 1 прибавляют к следующему разряду.
Как вычитать, если в уменьшаемом несколько нулей подряд?
Найти ближайший слева разряд, в котором есть ненулевая цифра, и уменьшить её на единицу. Единицу разменять через нулевые разряды: в каждом из них после размена будет 9, а в нужном разряде справа — 10.
Почему при умножении на десятки частичное произведение сдвигают?
Цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а десятки. Поэтому произведение на десятки записывают со сдвигом на один разряд влево: это учитывает разрядное значение множителя.
Как проверить деление с остатком?
Умножить делитель на частное и прибавить остаток: результат должен равняться делимому. Кроме того, остаток обязан быть меньше делителя.
(письменные вычисления)
