"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Умножение двузначного числа на двузначное основано на разложении одного множителя на десятки и единицы. Каждый разряд даёт отдельное, или неполное, произведение, а затем эти результаты складывают. Такой способ помогает выполнять вычисления столбиком, не путать разряды и учитывать переносы. Освоив его, можно уверенно умножать и более многозначные числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначный множитель — число от 10 до 99, которое умножают на другое число. Например, в выражении 23 · 14 числа 23 и 14 являются множителями. Это понятие нужно, чтобы различать числа, участвующие в умножении, и понимать, какой из них раскладывают на разряды.
Разрядное слагаемое — слагаемое, показывающее вклад цифры в число. Например, 34 = 30 + 4, где 30 — разрядное слагаемое десятков, а 4 — разрядное слагаемое единиц. Разложение помогает выполнять умножение по отдельным разрядам.
Неполное произведение — результат умножения одного множителя на разрядное слагаемое другого множителя. В выражении 23 · 14 такими результатами будут 23 · 10 и 23 · 4. Их называют неполными, потому что окончательный ответ получают после сложения обоих результатов.
Распределительное свойство умножения относительно сложения — правило: число умножают на сумму, умножая его на каждое слагаемое и складывая результаты. Например, a · (b + c) = a · b + a · c. Именно это свойство объясняет, почему двузначное умножение можно выполнить двумя более простыми действиями.
Чтобы понять письменный способ, один из множителей представляют как сумму десятков и единиц. Например, 23 = 20 + 3, потому что в числе 23 содержатся 2 десятка и 3 единицы. Такое разложение не меняет число, но позволяет умножить другой множитель отдельно на каждый его разряд.
Рассмотрим 23 · 14. Число 14 можно представить как 10 + 4, поэтому по распределительному свойству получаем 23 · 14 = 23 · (10 + 4) = 23 · 10 + 23 · 4. Причина такого перехода в том, что четырнадцать предметов — это десять предметов и ещё четыре, а общее число можно найти сложением двух частей. Так появляются два неполных произведения.
Произведение 23 · 10 связано с десятками, поэтому его значение записывают начиная с разряда десятков. При умножении на 10 каждая цифра числа переходит на один разряд влево: 23 · 10 = 230. Именно поэтому в записи столбиком первое неполное произведение сдвигают на одну позицию, а при необходимости показывают ноль в разряде единиц.
Произведение 23 · 4 связано с единицами, поэтому его записывают без сдвига. После этого оба результата складывают, выравнивая единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Проверка через разложение обоих множителей позволяет убедиться в вычислении, а округление показывает, не получился ли ответ слишком большим или слишком маленьким.
Таблица показывает порядок действий при умножении столбиком. Двигайтесь сверху вниз и каждый раз проверяйте, к какому разряду относится полученный результат. Особенно внимательно следите за сдвигом произведения на десятки и за переносами.
| Этап | Действие | Что означает |
|---|---|---|
| Первое неполное произведение | Умножить первый множитель на цифру единиц второго множителя | Получено произведение для единиц |
| Второе неполное произведение | Умножить первый множитель на цифру десятков и записать со сдвигом | Получено произведение для десятков |
| Сложение неполных произведений | Сложить результаты справа налево | Найдено полное произведение |
| Проверка результата | Повторить вычисление другим способом или оценить ответ приблизительно | Проверена правильность и правдоподобие ответа |
Разложим второй множитель на десятки и единицы: 13 = 10 + 3. Это позволит найти два неполных произведения и сложить их.
Ответ: 12 · 13 = 156.
Второй множитель 34 содержит 4 единицы и 3 десятка. Поэтому сначала умножим 27 на 4, затем на 3 десятка и только после этого сложим результаты.
Ответ: 27 · 34 = 918.
Здесь при умножении встретятся переносы, поэтому после каждого шага нужно внимательно смотреть на разряды. Для проверки округлим 46 примерно до 50, а 28 — примерно до 30.
Ответ: 46 · 28 = 1288.
Первое неполное произведение записывают без сдвига. Так происходит, когда забывают, что умножают на десятки, а не на единицы. Проверить себя можно вопросом: к какому разряду относится этот результат и с какой цифры должна начинаться его запись?
Забывают ноль при умножении на десятки. Ученик видит цифру десятков, но не учитывает её разрядное значение, поэтому результат смещается вправо. Проверьте, что произведение на десятки заканчивается нулём, если вычисление выполняется отдельно: например, 27 · 30 = 810.
Неверно складывают неполные произведения. При этом часто теряют перенос из единиц в десятки или из десятков в сотни. Складывайте справа налево и после каждого разряда отдельно отмечайте перенос.
Складывают цифры множителей вместо умножения. Ошибка появляется, если перепутать знак · со знаком + или начать вычисление не с того действия. Перед решением прочитайте выражение вслух и после ответа оцените его величину: произведение положительных чисел не должно быть меньше каждого множителя.
Перед изучением темы нужно уверенно умножать и складывать многозначные числа, в том числе с переносом. Также понадобится знание разрядного состава двузначного числа и распределительного свойства умножения. Письменный способ затем используется при умножении многозначных чисел и при вычислении значений выражений.
Почему двузначный множитель раскладывают на десятки и единицы?
Так проще применить распределительное свойство умножения. Например, число 23 заменяют суммой 20 + 3 и находят два произведения: на десятки и на единицы.
Почему первое неполное произведение записывают со сдвигом?
Первое произведение получают при умножении на десятки, а десятки занимают второй разряд. Поэтому результат записывают начиная с разряда десятков, то есть со сдвигом на одну позицию влево.
Нужно ли при умножении на десятки писать ноль?
При записи столбиком ноль в разряде единиц обычно показывают, чтобы обозначить сдвиг разрядов. Если сдвиг уже ясно виден по расположению чисел, ноль иногда не записывают, но разряды всё равно должны быть выровнены.
В каком порядке складывать неполные произведения?
Сначала записывают произведение на единицы, под ним — произведение на десятки со сдвигом влево. Затем складывают их справа налево, начиная с единиц, учитывая переносы.
Как проверить, что полученный ответ правдоподобен?
Можно округлить множители и приблизительно перемножить их. Например, 46 · 28 близко к 50 · 30 = 1500, поэтому точный ответ должен быть примерно таким же по величине.
Умножение двузначного числа на двузначное
